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Généralités sur les applications linéaires
Dans ce paragraphe, $E$ et $F$ sont deux $\K$-espaces vectoriels.
Définition
- Une application $u\colon E\to F$ est dite linéaire si et seulement si :
$$\forall(\lambda,\mu)\in\K^{2},\;\forall\left(\vv{x},\vv{y}\right)\in E^{2},\; u\left(\lambda\vv{x}+\mu\vv{y}\right)=\lambda u\left(\vv{x}\right)+\mu u\left(\vv{y}\right)$$L'ensemble des telles applications linéaires est noté $\mathcal{L}(E,F)$. Si une telle application est bijective, on l'appelle isomorphisme de $E$ dans $F$ (on dit aussi que $E$ et $F$ sont isomorphes). - Dans le cas où $F=E$, ces applications sont appelées endomorphismes de $E$ et l'ensemble des endomorphismes est noté $\mathcal{L}(E)$. Si une telle application est aussi bijective, on l'appelle automorphisme de $E$ et l'ensemble des automorphismes se note $\mathcal{GL}(E)$.
- Dans le cas où $F=\K$, ces applications sont appelées formes linéaires sur $E$.
Théorème
Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors :
- $u\left(\vv*{0}{E}\right)=\vv*{0}{F}$
- $\forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n},\;\forall(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n})\in E^{n},\; u\left(\lambda_{1}\vv*{x}{1}+\dots+\lambda_{n}\vv*{x}{n}\right)=\lambda_{1}u\left(\vv*{x}{1}\right)+\dots+\lambda_{n}u\left(\vv*{x}{n}\right)$
- $\forall\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)\in E^{n},\; u\left(\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)\right)=\mathrm{Vect}\left(u\left(\vv*{x}{1}\right),\dots,u\left(\vv*{x}{n}\right)\right)$
- $u$ est injective si et seulement si l'image de toute famille libre dans $E$ est libre dans $F$
- $u$ est surjective si et seulement si l'image d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $F$
- $u$ est bijective (donc isomorphisme) si et seulement si l'image d'une base de $E$ est une base de $F$.
<html><a name=“existence_line”></a></html>
Théorème : Construction d'une application linéaire
Soit $(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n})$ une base de $E$ et $(\vv*{y}{1},\dots,\vv*{y}{n})$ une famille de vecteurs de $F$. Alors :
$$\ds\exists!u\in\mathcal{L}(E,F)\;/\;\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; u\left(\vv*{x}{i}\right)=\vv*{y}{i}$$
Théorème : Structure d'espace vectoriel (et d'algèbre)
- L'ensemble $\mathcal{L}(E,F)$ est un espace vectoriel (comme sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de $E$ dans $F$), c'est à dire que toute combinaison linéaire d'applications linéaires est encore une application linéaire.
- Si $E$ et $F$ sont de dimension finie alors $\mathcal{L}(E,F)$ est de dimension finie et on a :
$$\dim(\mathcal{L}(E,F))=\dim(E)\times\dim(F)$$En particulier :
$$\dim(\mathcal{L}(E))=\dim(E)^{2}$$ - La composée, lorsqu'elle existe, de deux applications linéaires $u$ et $v$ est encore une application linéaire. Dans le cas où ce sont aussi des isomorphismes alors $v\circ u$ est un isomorphisme et :
$$(v\circ u)^{-1}=u^{-1}\circ v^{-1}$$
Remarques
- L'ensemble $\mathcal{GL}(E)$ n'est pas un espace vectoriel : si $u\in\mathcal{GL}(E)$ alors $1\cdot u+(-1)\cdot u=\Theta\notin\mathcal{GL}(E)$.
- En algèbre linéaire, si $u\in\mathcal{L}(E)$ alors la notation $u^{n}$ désigne la composée $\underset{n\,\mathrm{facteurs}}{\underbrace{u\circ\dots\circ u}}$ (définie par récurrence: $u^{0}=\mathrm{Id}_{E}$ et $u^{n+1}=u^{n}\circ u=u\circ u^{n}$).
Théorème : Formule du binôme de Newton
Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que $\boxed{v\circ u=u\circ v}$. Alors :
$$\ds\forall n\in\N,\;(u+v)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}u^{k}\circ v^{n-k}}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}u^{n-k}\circ v^{k}}$$
Définition : Noyau et image
Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$.
- On appelle noyau de $u$ l'ensemble :
$$\ds\mathrm{Ker}(u)=u^{-1}\left(\left\{ \vv*{0}{F}\right\} \right)=\left\{ \left.\vv{x}\in E\,\right|\; u\left(\vv{x}\right)=\vv*{0}{F}\right\}$$ - On appelle image de $u$ l'ensemble :
$$\mathrm{Im}(u)=u(E)=\left\{ \left.\vv{y}\in F\,\right|\;\exists\vv{x}\in E\;/\; u\left(\vv{x}\right)=\vv{y}\right\}$$ - Lorsque l'image de $u$ est de dimension finie, sa dimension est appelée rang de $u$ et se note $\mathrm{rg}(u)$.
<html><a name=“noyau_et_inj”></a></html>
Théorème : Noyau/image et injectivité/surjectivité
Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors :
- $\mathrm{Ker}(u)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $\mathrm{Im}(u)$ est un sous-espace vectoriel de $F$
- l'application $u$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}(u)=\left\{ \vv*{0}{E}\right\}$
- l'application $u$ est surjective si et seulement si $\mathrm{Im}(u)=F=u(E)$.
<html><a name=“th_rang”></a></html>
Théorème : Théorème du rang
On suppose que $E$ est de dimension finie (peu importe pour $F$). Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$.
- On a :
$$\ds\dim(E)=\dim(\mathrm{Ker}(u))+\mathrm{rg}(u)=\dim(\mathrm{Ker}(u))+\dim(\mathrm{Im}(u))$$ - Dans le cas où $F=E$, les propositions suivantes sont équivalentes :
- $u$ est injective
- $u$ est surjective
- $u$ est bijective
Remarque
Lorsque $\dim(F)=\dim(E)$ et $F\ne E$, le dernier résultat n'est pas utilisable tel quel même s'il est valide, on revient à l'utilisation du premier point.
Exemples
- Déterminer tous les endomorphismes $u$ de $\R^{2}$ tels que : $u^{2}=\Theta$.
- Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie. Soit $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$ tels que :
$$\ds g\ne\Theta_{E}\qquad f\circ g=\Theta_{E}\qquad f+g\in\mathcal{GL}(E)$$- Justifier que $\mathrm{Im}(g)\subset\mathrm{Ker}(f)$ puis que $E=\mathrm{Im}(f)+\mathrm{Im}(g)$.
- En déduire que $\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Im}(g)$ puis que $E=\mathrm{Ker}(f)\oplus\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Ker}(g)\oplus\mathrm{Im}(g)$.
Définition
On appelle hyperplan de $E$ tout noyau d'une forme linéaire non nulle.
Théorème
On suppose que $E$ est de dimension finie. Tout hyperplan de $E$ est de dimension finie égale à $\dim(E)-1$.
Définition
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $F$ un sous-espace de $E$. On dit que $F$ est stable par $u$ si seulement si $u(F)\subset F$, c'est à dire si et seulement si :
$$\forall\vv{x}\in F,\; u\left(\vv{x}\right)\in F$$
Exemples
- Déterminer les sous-espaces d'un espace vectoriel $E$ stables par $\mathrm{Id}_{E}$ puis par $\Theta_{E}$.
- Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $D=\mathrm{Vect}(\vv{x})$ (vecteur non nul). Déterminer une CNS portant sur $\vv{x}$ pour que la droite $D$ soit stable par $u$.
- Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $\lambda\in\K$. Montrer que $\mathrm{Ker}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})$ est stable par $u$.
- Soit $u \colon \K^{2}\to\K^{2},\;\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x+y\\ x+y \end{pmatrix}$. Justifier que $u$ est linéaire puis déterminer tous les sous-espaces de $\K^{2}$ stables par $u$.
- Déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme $u$ de $\R^{3}$ représenté par la matrice :
$$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -6 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$dans la base canonique de $\R^{3}$.
Remarque
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$. Alors, l'application $u_{F}\colon F\to F,\;\vv{x}\mapsto u\left(\vv{x}\right)$ est un endomorphisme de $F$ appelé endomorphisme induit par $u$ sur le sous-espace stable $F$.