Les deux révisions précédentesRévision précédenteProchaine révision | Révision précédente |
math:2:generalites_applications_lineaires [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1 | math:2:generalites_applications_lineaires [2024/02/24 16:46] (Version actuelle) – Alain Guichet |
---|
| |
Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors : | Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors : |
* $u\left(\vv*{0}{E}\right)=\vv*{0}{F}$ | * $u\left(\vv{0_E}\right)=\vv{0_F}$ |
* $\forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n},\;\forall(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n})\in E^{n},\; u\left(\lambda_{1}\vv*{x}{1}+\dots+\lambda_{n}\vv*{x}{n}\right)=\lambda_{1}u\left(\vv*{x}{1}\right)+\dots+\lambda_{n}u\left(\vv*{x}{n}\right)$ | * $\forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n},\;\forall(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n})\in E^{n},\; u\left(\lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{n}\vv{x_n}\right)=\lambda_{1}u\left(\vv{x_1}\right)+\dots+\lambda_{n}u\left(\vv{x_n}\right)$ |
* $\forall\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)\in E^{n},\; u\left(\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)\right)=\mathrm{Vect}\left(u\left(\vv*{x}{1}\right),\dots,u\left(\vv*{x}{n}\right)\right)$ | * $\forall\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)\in E^{n},\; u\left(\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)\right)=\mathrm{Vect}\left(u\left(\vv{x_1}\right),\dots,u\left(\vv{x_n}\right)\right)$ |
* $u$ est injective si et seulement si l'image de toute famille libre dans $E$ est libre dans $F$ | * $u$ est injective si et seulement si l'image de toute famille libre dans $E$ est libre dans $F$ |
* $u$ est surjective si et seulement si l'image d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $F$ | * $u$ est surjective si et seulement si l'image d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $F$ |
| |
| |
<html><a name="existence_line"></a></html> | |
<box red round 100% | **Théorème : [[:math:2:demo:existence_line|Construction d'une application linéaire]]**> | <box red round 100% | **Théorème : [[:math:2:demo:existence_line|Construction d'une application linéaire]]**> |
| |
Soit $(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n})$ une base de $E$ et $(\vv*{y}{1},\dots,\vv*{y}{n})$ une famille de vecteurs de $F$. Alors :\\ $$\ds\exists!u\in\mathcal{L}(E,F)\;/\;\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; u\left(\vv*{x}{i}\right)=\vv*{y}{i}$$ | Soit $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n})$ une base de $E$ et $(\vv{y_1},\dots,\vv{y_n})$ une famille de vecteurs de $F$. Alors : $$\ds\exists!u\in\mathcal{L}(E,F)\;/\;\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; u\left(\vv{x_i}\right)=\vv{y_i}$$ |
| |
</box> | </box> |
| |
* L'ensemble $\mathcal{L}(E,F)$ est un espace vectoriel (comme sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de $E$ dans $F$), c'est à dire que toute combinaison linéaire d'applications linéaires est encore une application linéaire. | * L'ensemble $\mathcal{L}(E,F)$ est un espace vectoriel (comme sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de $E$ dans $F$), c'est à dire que toute combinaison linéaire d'applications linéaires est encore une application linéaire. |
* Si $E$ et $F$ sont de dimension finie alors $\mathcal{L}(E,F)$ est de dimension finie et on a :\\ $$\dim(\mathcal{L}(E,F))=\dim(E)\times\dim(F)$$En particulier :\\ $$\dim(\mathcal{L}(E))=\dim(E)^{2}$$ | * Si $E$ et $F$ sont de dimension finie alors $\mathcal{L}(E,F)$ est de dimension finie et on a :\\ $$\dim(\mathcal{L}(E,F))=\dim(E)\times\dim(F)$$En particulier : $$\dim(\mathcal{L}(E))=\dim(E)^{2}$$ |
* La composée, lorsqu'elle existe, de deux applications linéaires $u$ et $v$ est encore une application linéaire. Dans le cas où ce sont aussi des isomorphismes alors $v\circ u$ est un isomorphisme et :\\ $$(v\circ u)^{-1}=u^{-1}\circ v^{-1}$$ | * La composée, lorsqu'elle existe, de deux applications linéaires $u$ et $v$ est encore une application linéaire. Dans le cas où ce sont aussi des isomorphismes alors $v\circ u$ est un isomorphisme et : $$(v\circ u)^{-1}=u^{-1}\circ v^{-1}$$ |
| |
</box> | </box> |
| |
Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. | Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. |
* On appelle **noyau** de $u$ l'ensemble :\\ $$\ds\mathrm{Ker}(u)=u^{-1}\left(\left\{ \vv*{0}{F}\right\} \right)=\left\{ \left.\vv{x}\in E\,\right|\; u\left(\vv{x}\right)=\vv*{0}{F}\right\}$$ | * On appelle **noyau** de $u$ l'ensemble :\\ $$\ds\mathrm{Ker}(u)=u^{-1}\left(\left\{ \vv{0_F}\right\} \right)=\left\{ \left.\vv{x}\in E\,\right|\; u\left(\vv{x}\right)=\vv{0_F}\right\}$$ |
* On appelle **image** de $u$ l'ensemble :\\ $$\mathrm{Im}(u)=u(E)=\left\{ \left.\vv{y}\in F\,\right|\;\exists\vv{x}\in E\;/\; u\left(\vv{x}\right)=\vv{y}\right\}$$ | * On appelle **image** de $u$ l'ensemble :\\ $$\mathrm{Im}(u)=u(E)=\left\{ \left.\vv{y}\in F\,\right|\;\exists\vv{x}\in E\;/\; u\left(\vv{x}\right)=\vv{y}\right\}$$ |
* Lorsque l'image de $u$ est de dimension finie, sa dimension est appelée rang de $u$ et se note $\mathrm{rg}(u)$. | * Lorsque l'image de $u$ est de dimension finie, sa dimension est appelée rang de $u$ et se note $\mathrm{rg}(u)$. |
| |
| |
<html><a name="noyau_et_inj"></a></html> | |
<box red round 100% | **Théorème : [[:math:2:demo:noyau_et_inj|Noyau/image et injectivité/surjectivité]]**> | <box red round 100% | **Théorème : [[:math:2:demo:noyau_et_inj|Noyau/image et injectivité/surjectivité]]**> |
| |
Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors : | Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors : |
* $\mathrm{Ker}(u)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $\mathrm{Im}(u)$ est un sous-espace vectoriel de $F$ | * $\mathrm{Ker}(u)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $\mathrm{Im}(u)$ est un sous-espace vectoriel de $F$ |
* l'application $u$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}(u)=\left\{ \vv*{0}{E}\right\}$ | * l'application $u$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}(u)=\left\{ \vv{0_E}\right\}$ |
* l'application $u$ est surjective si et seulement si $\mathrm{Im}(u)=F=u(E)$. | * l'application $u$ est surjective si et seulement si $\mathrm{Im}(u)=F=u(E)$. |
| |
| |
| |
<html><a name="th_rang"></a></html> | |
<box red round 100% | **Théorème : [[:math:2:demo:th_rang|Théorème du rang]]**> | <box red round 100% | **Théorème : [[:math:2:demo:th_rang|Théorème du rang]]**> |
| |