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math:2:generalites_applications_lineaires

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math:2:generalites_applications_lineaires [2020/05/29 00:22]
Alain Guichet
math:2:generalites_applications_lineaires [2020/10/14 15:15]
Alain Guichet
Ligne 63: Ligne 63:
  
 Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$.
-  * On appelle **noyau** de $u$ l'ensemble :\\ $$\ds\mathrm{Ker}(u)=u^{-1}\left(\left\{ \vv*{0}{F}\right\} \right)=\left\{ \left.\vv{x}\in E\,\right|\; u\left(\vv{x}\right)=\vv*{0}{F}\right\}$$+  * On appelle **noyau** de $u$ l'ensemble :\\ $$\ds\mathrm{Ker}(u)=u^{-1}\left(\left\{ \vv{0_F}\right\} \right)=\left\{ \left.\vv{x}\in E\,\right|\; u\left(\vv{x}\right)=\vv{0_F}\right\}$$
   * On appelle **image** de $u$ l'ensemble :\\ $$\mathrm{Im}(u)=u(E)=\left\{ \left.\vv{y}\in F\,\right|\;\exists\vv{x}\in E\;/\; u\left(\vv{x}\right)=\vv{y}\right\}$$   * On appelle **image** de $u$ l'ensemble :\\ $$\mathrm{Im}(u)=u(E)=\left\{ \left.\vv{y}\in F\,\right|\;\exists\vv{x}\in E\;/\; u\left(\vv{x}\right)=\vv{y}\right\}$$
   * Lorsque l'image de $u$ est de dimension finie, sa dimension est appelée rang de $u$ et se note $\mathrm{rg}(u)$.   * Lorsque l'image de $u$ est de dimension finie, sa dimension est appelée rang de $u$ et se note $\mathrm{rg}(u)$.
Ligne 75: Ligne 75:
 Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors : Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors :
   * $\mathrm{Ker}(u)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $\mathrm{Im}(u)$ est un sous-espace vectoriel de $F$   * $\mathrm{Ker}(u)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $\mathrm{Im}(u)$ est un sous-espace vectoriel de $F$
-  * l'application $u$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}(u)=\left\{ \vv*{0}{E}\right\}$+  * l'application $u$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}(u)=\left\{ \vv{0_E}\right\}$
   * l'application $u$ est surjective si et seulement si $\mathrm{Im}(u)=F=u(E)$.   * l'application $u$ est surjective si et seulement si $\mathrm{Im}(u)=F=u(E)$.
  
math/2/generalites_applications_lineaires.txt · Dernière modification: 2020/10/14 15:15 de Alain Guichet