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math:2:generalites_applications_lineaires

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math:2:generalites_applications_lineaires [2020/05/10 21:19]
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math:2:generalites_applications_lineaires [2020/05/29 00:22]
Alain Guichet
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 Soit $u\in\mathcal{L}(E,​F)$. Alors : Soit $u\in\mathcal{L}(E,​F)$. Alors :
-  * $u\left(\vv*{0}{E}\right)=\vv*{0}{F}$ +  * $u\left(\vv{0_E}\right)=\vv{0_F}$ 
-  * $\forall(\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n})\in\K^{n},​\;​\forall(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n})\in E^{n},\; u\left(\lambda_{1}\vv*{x}{1}+\dots+\lambda_{n}\vv*{x}{n}\right)=\lambda_{1}u\left(\vv*{x}{1}\right)+\dots+\lambda_{n}u\left(\vv*{x}{n}\right)$ +  * $\forall(\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n})\in\K^{n},​\;​\forall(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_n})\in E^{n},\; u\left(\lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{n}\vv{x_n}\right)=\lambda_{1}u\left(\vv{x_1}\right)+\dots+\lambda_{n}u\left(\vv{x_n}\right)$ 
-  * $\forall\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)\in E^{n},\; u\left(\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)\right)=\mathrm{Vect}\left(u\left(\vv*{x}{1}\right),​\dots,​u\left(\vv*{x}{n}\right)\right)$+  * $\forall\left(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_n}\right)\in E^{n},\; u\left(\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_n}\right)\right)=\mathrm{Vect}\left(u\left(\vv{x_1}\right),​\dots,​u\left(\vv{x_n}\right)\right)$
   * $u$ est injective si et seulement si l'​image de toute famille libre dans $E$ est libre dans $F$   * $u$ est injective si et seulement si l'​image de toute famille libre dans $E$ est libre dans $F$
   * $u$ est surjective si et seulement si l'​image d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $F$   * $u$ est surjective si et seulement si l'​image d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $F$
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 <box red round 100% | **Théorème : [[:​math:​2:​demo:​existence_line|Construction d'une application linéaire]]**>​ <box red round 100% | **Théorème : [[:​math:​2:​demo:​existence_line|Construction d'une application linéaire]]**>​
  
-Soit $(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n})$ une base de $E$ et $(\vv*{y}{1},\dots,\vv*{y}{n})$ une famille de vecteurs de $F$. Alors :\\ $$\ds\exists!u\in\mathcal{L}(E,​F)\;/​\;​\forall i\in\llbracket1,​n\rrbracket,​\;​ u\left(\vv*{x}{i}\right)=\vv*{y}{i}$$+Soit $(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_n})$ une base de $E$ et $(\vv{y_1},​\dots,​\vv{y_n})$ une famille de vecteurs de $F$. Alors : $$\ds\exists!u\in\mathcal{L}(E,​F)\;/​\;​\forall i\in\llbracket1,​n\rrbracket,​\;​ u\left(\vv{x_i}\right)=\vv{y_i}$$
  
 </​box>​ </​box>​
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   * L'​ensemble $\mathcal{L}(E,​F)$ est un espace vectoriel (comme sous-espace vectoriel de l'​ensemble des applications de $E$ dans $F$), c'est à dire que toute combinaison linéaire d'​applications linéaires est encore une application linéaire.   * L'​ensemble $\mathcal{L}(E,​F)$ est un espace vectoriel (comme sous-espace vectoriel de l'​ensemble des applications de $E$ dans $F$), c'est à dire que toute combinaison linéaire d'​applications linéaires est encore une application linéaire.
-  * Si $E$ et $F$ sont de dimension finie alors $\mathcal{L}(E,​F)$ est de dimension finie et on a :\\ $$\dim(\mathcal{L}(E,​F))=\dim(E)\times\dim(F)$$En particulier :\\ $$\dim(\mathcal{L}(E))=\dim(E)^{2}$$ +  * Si $E$ et $F$ sont de dimension finie alors $\mathcal{L}(E,​F)$ est de dimension finie et on a :\\ $$\dim(\mathcal{L}(E,​F))=\dim(E)\times\dim(F)$$En particulier : $$\dim(\mathcal{L}(E))=\dim(E)^{2}$$ 
-  * La composée, lorsqu'​elle existe, de deux applications linéaires $u$ et $v$ est encore une application linéaire. Dans le cas où ce sont aussi des isomorphismes alors $v\circ u$ est un isomorphisme et :\\ $$(v\circ u)^{-1}=u^{-1}\circ v^{-1}$$+  * La composée, lorsqu'​elle existe, de deux applications linéaires $u$ et $v$ est encore une application linéaire. Dans le cas où ce sont aussi des isomorphismes alors $v\circ u$ est un isomorphisme et : $$(v\circ u)^{-1}=u^{-1}\circ v^{-1}$$
  
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math/2/generalites_applications_lineaires.txt · Dernière modification: 2020/06/05 09:55 par Alain Guichet