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| math:2:generalites_applications_lineaires [2019/06/30 11:44] – [Généralités sur les applications linéaires] Alain Guichet | math:2:generalites_applications_lineaires [2020/05/29 00:22] – Alain Guichet |
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| Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors : | Soit $u\in\mathcal{L}(E,F)$. Alors : |
| * $u\left(\vv*{0}{E}\right)=\vv*{0}{F}$ | * $u\left(\vv{0_E}\right)=\vv{0_F}$ |
| * $\forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n},\;\forall(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n})\in E^{n},\; u\left(\lambda_{1}\vv*{x}{1}+\dots+\lambda_{n}\vv*{x}{n}\right)=\lambda_{1}u\left(\vv*{x}{1}\right)+\dots+\lambda_{n}u\left(\vv*{x}{n}\right)$ | * $\forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n},\;\forall(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n})\in E^{n},\; u\left(\lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{n}\vv{x_n}\right)=\lambda_{1}u\left(\vv{x_1}\right)+\dots+\lambda_{n}u\left(\vv{x_n}\right)$ |
| * $\forall\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)\in E^{n},\; u\left(\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)\right)=\mathrm{Vect}\left(u\left(\vv*{x}{1}\right),\dots,u\left(\vv*{x}{n}\right)\right)$ | * $\forall\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)\in E^{n},\; u\left(\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)\right)=\mathrm{Vect}\left(u\left(\vv{x_1}\right),\dots,u\left(\vv{x_n}\right)\right)$ |
| * $u$ est injective si et seulement si l'image de toute famille libre dans $E$ est libre dans $F$ | * $u$ est injective si et seulement si l'image de toute famille libre dans $E$ est libre dans $F$ |
| * $u$ est surjective si et seulement si l'image d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $F$ | * $u$ est surjective si et seulement si l'image d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $F$ |
| <box red round 100% | **Théorème : [[:math:2:demo:existence_line|Construction d'une application linéaire]]**> | <box red round 100% | **Théorème : [[:math:2:demo:existence_line|Construction d'une application linéaire]]**> |
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| Soit $(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n})$ une base de $E$ et $(\vv*{y}{1},\dots,\vv*{y}{n})$ une famille de vecteurs de $F$. Alors :\\ $$\ds\exists!u\in\mathcal{L}(E,F)\;/\;\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; u\left(\vv*{x}{i}\right)=\vv*{y}{i}$$ | Soit $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n})$ une base de $E$ et $(\vv{y_1},\dots,\vv{y_n})$ une famille de vecteurs de $F$. Alors : $$\ds\exists!u\in\mathcal{L}(E,F)\;/\;\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; u\left(\vv{x_i}\right)=\vv{y_i}$$ |
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| * L'ensemble $\mathcal{L}(E,F)$ est un espace vectoriel (comme sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de $E$ dans $F$), c'est à dire que toute combinaison linéaire d'applications linéaires est encore une application linéaire. | * L'ensemble $\mathcal{L}(E,F)$ est un espace vectoriel (comme sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de $E$ dans $F$), c'est à dire que toute combinaison linéaire d'applications linéaires est encore une application linéaire. |
| * Si $E$ et $F$ sont de dimension finie alors $\mathcal{L}(E,F)$ est de dimension finie et on a :\\ $$\dim(\mathcal{L}(E,F))=\dim(E)\times\dim(F)$$En particulier :\\ $$\dim(\mathcal{L}(E))=\dim(E)^{2}$$ | * Si $E$ et $F$ sont de dimension finie alors $\mathcal{L}(E,F)$ est de dimension finie et on a :\\ $$\dim(\mathcal{L}(E,F))=\dim(E)\times\dim(F)$$En particulier : $$\dim(\mathcal{L}(E))=\dim(E)^{2}$$ |
| * La composée, lorsqu'elle existe, de deux applications linéaires $u$ et $v$ est encore une application linéaire. Dans le cas où ce sont aussi des isomorphismes alors $v\circ u$ est un isomorphisme et :\\ $$(v\circ u)^{-1}=u^{-1}\circ v^{-1}$$ | * La composée, lorsqu'elle existe, de deux applications linéaires $u$ et $v$ est encore une application linéaire. Dans le cas où ce sont aussi des isomorphismes alors $v\circ u$ est un isomorphisme et : $$(v\circ u)^{-1}=u^{-1}\circ v^{-1}$$ |
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| - Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $D=\mathrm{Vect}(\vv{x})$ (vecteur non nul). Déterminer une CNS portant sur $\vv{x}$ pour que la droite $D$ soit stable par $u$. | - Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $D=\mathrm{Vect}(\vv{x})$ (vecteur non nul). Déterminer une CNS portant sur $\vv{x}$ pour que la droite $D$ soit stable par $u$. |
| - Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $\lambda\in\K$. Montrer que $\mathrm{Ker}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})$ est stable par $u$. | - Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $\lambda\in\K$. Montrer que $\mathrm{Ker}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})$ est stable par $u$. |
| - Soit $u\colon\K^{2}\to\K^{2},\;\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x+y\\ x+y \end{pmatrix}$. Justifier que $u$ est linéaire puis déterminer tous les sous-espaces de $\K^{2}$ stables par $u$. | - Soit $u \colon \K^{2}\to\K^{2},\;\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x+y\\ x+y \end{pmatrix}$. Justifier que $u$ est linéaire puis déterminer tous les sous-espaces de $\K^{2}$ stables par $u$. |
| - Déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme $u$ de $\R^{3}$ représenté par la matrice :\\ $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -6 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$dans la base canonique de $\R^{3}$. | - Déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme $u$ de $\R^{3}$ représenté par la matrice :\\ $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -6 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$dans la base canonique de $\R^{3}$. |
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