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Généralités sur les séries

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<a name=“serie”></a></html>Définition : Séries simples> Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite de réels.

On appelle série de terme général $u_{n}$ la suite des sommes partielles de rang $\boldsymbol{n}$, $\ds\left(\sum_{k=p}^{n}{u_{k}}\right)_{n\geqslant p}$.
La série se note alors : $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$.
On dit que la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ converge si et seulement la suite des sommes partielles converge et on appelle alors somme de la série cette limite qui se note :$$\ds\sum_{n=p}^{+\infty}{u_{n}}$$Dans le cas contraire, la série est dite divergente.
On dit que la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ converge absolument si et seulement si la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{|u_{n}|}$ converge.
Une série convergente mais qui ne converge pas absolument est dite semi-convergente.

Exemples : des classiques à connaître (et reconnaître)

Montrer que la série $\ds\sum_{n\geqslant1}{\frac{1}{n(n+1)}}$ converge et préciser sa somme.
Montrer que la série $\ds\sum_{n\geqslant1}{\frac{(-1)^{n}}{n}}$ converge (méthode des suites extraites des rangs pairs et impairs de la suite des sommes partielles) mais qu'elle ne converge pas absolument (cas particulier des séries de Riemann).

Remarque
Pour calculer la suite des sommes partielles avec Scilab, on utilise l'instruction cumsum :

n=10
u=1./[1:n]
S=cumsum(u)
disp(S)

affiche :

1.    1.5    1.8333333    2.0833333    2.2833333    2.45    2.5928571    2.7178571    2.8289683    2.9289683

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<a name=“cn_cv”></a></html>Théorème : Condition nécessaire de convergence> Si une série converge alors son terme général admet pour limite 0.

Remarques
<html><font color=“red”>LA RÉCIPROQUE EST FAUSSE</font></html> : Considérer la série $\ds\sum{\frac{1}{n}}$.

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<a name=“pte_serie”></a></html>Théorème : Propriétés des séries>

Chasles : Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite réelle et $q$ un entier tel que $q>p$. Les séries $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ et $\ds\sum_{n\geqslant q}{u_{n}}$ sont de même nature. De plus, en cas de convergence, on a :$$\ds\sum_{n=p}^{+\infty}{u_{n}}=\sum_{n=p}^{q-1}{u_{n}}+\sum_{n=q}^{+\infty}{u_{n}}$$
Linéarité : Soit $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ et $\ds\sum_{n\geqslant p}{v_{n}}$ deux séries et $(\lambda,\mu)$ un couple de réels. Si les deux séries sont convergentes alors la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{(\lambda u_{n}+\mu v_{n})}$ converge et on a :$$\ds\sum_{n=p}^{+\infty}{(\lambda u_{n}+\mu v_{n})}=\lambda\sum_{n=p}^{+\infty}{u_{n}}+\mu\sum_{n=p}^{+\infty}{v_{n}}$$

<html><a name=“lien_cv_suite”></a></html> Remarques

<html><font color=“red”>LA RÉCIPROQUE EST FAUSSE</font></html> : Si la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{(\lambda u_{n}+\mu v_{n})}$ converge alors il n'en va pas nécessairement de même des séries $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ et $\ds\sum_{n\geqslant p}{v_{n}}$, prendre par exemple $u_{n}=v_{n}=1$ et $\lambda=-\mu=1$.
Soit $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ une série convergente. Alors, pour tout entier $n\geqslant p$, la série $\ds\sum_{k\geqslant n}{u_{k}}$ converge et on appelle reste de la série $\ds\sum_{k\geqslant p}{u_{k}}$ la suite $\ds\left(\sum_{k\geqslant n}{u_{k}}\right)_{n\geqslant p}$. De plus la suite la suite des restes converge vers 0.
Le résultat qui soit peut être utilisé mais doit être systématique redémontré.
Une suite $(u_{n})_{n\geqslant p}$ converge si et seulement si la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{(u_{n+1}-u_{n})}$ converge.

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