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math:2:forme_quadratique

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math:2:forme_quadratique [2020/05/10 21:19]
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math:2:forme_quadratique [2020/06/22 11:11] (Version actuelle)
Alain Guichet
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     - Soit $\vv{x}$ un vecteur propre unitaire de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$. Que vaut $q(\vv{x})$ ?     - Soit $\vv{x}$ un vecteur propre unitaire de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$. Que vaut $q(\vv{x})$ ?
   - Soit $\mathcal{B}$ une base orthonormale quelconque de $E$. Soit $A=\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$. On note : $A=(a_{i,​j})$. Soit $\vv{x}\in E$ de coordonnées $(\alpha_{1},​\dots,​\alpha_{n})$ dans la base $\mathcal{B}$. Montrer que :\\ $$\ds q(\vv{x})=\sum_{i=1}^{n}{a_{i,​i}\alpha_{i}^{2}}+2\sum_{1\leqslant i<​j\leqslant n}{a_{i,​j}\alpha_{i}\alpha_{j}}$$   - Soit $\mathcal{B}$ une base orthonormale quelconque de $E$. Soit $A=\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$. On note : $A=(a_{i,​j})$. Soit $\vv{x}\in E$ de coordonnées $(\alpha_{1},​\dots,​\alpha_{n})$ dans la base $\mathcal{B}$. Montrer que :\\ $$\ds q(\vv{x})=\sum_{i=1}^{n}{a_{i,​i}\alpha_{i}^{2}}+2\sum_{1\leqslant i<​j\leqslant n}{a_{i,​j}\alpha_{i}\alpha_{j}}$$
-  - Soit $(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n})$ une base orthonormale de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$ (associés aux valeurs propres respectives $\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n}$). +  - Soit $(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_n})$ une base orthonormale de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$ (associés aux valeurs propres respectives $\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n}$). 
-    - Montrer que :\\ $$\ds\forall\vv{x}=\sum_{k=1}^{n}{\alpha_{k}\vv*{x}{k}}\in E,​\;​q(\vv{x})=\sum_{k=1}^{n}{\lambda_{k}\alpha_{k}^{2}}$$ +    - Montrer que : $$\ds\forall\vv{x}=\sum_{k=1}^{n}{\alpha_{k}\vv{x_k}}\in E,​\;​q(\vv{x})=\sum_{k=1}^{n}{\lambda_{k}\alpha_{k}^{2}}$$ 
-    - En déduire, en notant $a=\min(\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n})$ et $b=\max(\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n})$,​ que :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E,​\;​a\|\vv{x}\|^{2}\leqslant q(\vv{x})\leqslant b\|\vv{x}\|^{2}$$+    - En déduire, en notant $a=\min(\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n})$ et $b=\max(\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n})$,​ que : $$\ds\forall\vv{x}\in E,​\;​a\|\vv{x}\|^{2}\leqslant q(\vv{x})\leqslant b\|\vv{x}\|^{2}$$
     - À quelles conditions nécessaires et suffisantes (portant sur $\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n}$),​ a-t-on :     - À quelles conditions nécessaires et suffisantes (portant sur $\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n}$),​ a-t-on :
       - $\forall\vv{x}\in E,​\;​q(\vv{x})\geqslant0$ ?       - $\forall\vv{x}\in E,​\;​q(\vv{x})\geqslant0$ ?
       - $\forall\vv{x}\in E,​\;​q(\vv{x})\leqslant0$ ?       - $\forall\vv{x}\in E,​\;​q(\vv{x})\leqslant0$ ?
-      - $\forall\vv{x}\in E\setminus\left\{ \vv*{0}{E}\right\} ,​\;​q(\vv{x})>​0$ ? +      - $\forall\vv{x}\in E\setminus\left\{ \vv{0_E}\right\} ,​\;​q(\vv{x})>​0$ ? 
-      - $\forall\vv{x}\in E\setminus\left\{ \vv*{0}{E}\right\} ,​\;​q(\vv{x})<​0$ ?+      - $\forall\vv{x}\in E\setminus\left\{ \vv{0_E}\right\} ,​\;​q(\vv{x})<​0$ ?
  
  
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math/2/forme_quadratique.txt · Dernière modification: 2020/06/22 11:11 par Alain Guichet