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| math:2:fonctions_sur_rn [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1 | math:2:fonctions_sur_rn [2020/06/21 23:54] (Version actuelle) – [Fonctions numériques définies sur R^n] Alain Guichet |
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| Dans ce chapitre : | Dans ce chapitre : |
| * $n$ désigne un entier supérieur ou égal à 2. | * $n$ désigne un entier supérieur ou égal à 2. |
| * On rappelle que la base canonique $(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{n})$ de $\R^{n}$ (resp. $(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{n},\vv*{e}{n+1})$ de $\R^{n+1}$) est orthonormale pour le produit scalaire euclidien de $\R^{n}$ (resp. $\R^{n+1}$). On note $\left\langle .,.\right\rangle$ ce produit scalaire et $\|.\|$ sa norme associée. | * On rappelle que la base canonique $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ de $\R^{n}$ (resp. $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n},\vv{e_{n+1}})$ de $\R^{n+1}$) est orthonormale pour le produit scalaire euclidien de $\R^{n}$ (resp. $\R^{n+1}$). On note $\left\langle .,.\right\rangle$ ce produit scalaire et $\|.\|$ sa norme associée. |
| * L'ensemble (de points) $\R^{n}$ est muni d'un repère $\mathcal{R}_{n}=(O,\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{n})$ orthonormé. | * L'ensemble (de points) $\R^{n}$ est muni d'un repère $\mathcal{R}_{n}=(O,\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ orthonormé. |
| * On identifiera systématiquement chaque point $M$ de $\R^{n}$ avec le vecteur $x=\vv{OM}$. Ainsi, si $M$ et $A$ sont deux points de $\R^{n}$, $M-A$ désigne soit le vecteur $\vv{AM}$, soit le point $B$ tel que $\vv{OB}=\vv{AM}$. | * On identifiera systématiquement chaque point $M$ de $\R^{n}$ avec le vecteur $\vv{x}=\vv{OM}$. Ainsi, si $M$ et $A$ sont deux points de $\R^{n}$, $M-A$ désigne soit le vecteur $\vv{AM}$, soit le point $B$ tel que $\vv{OB}=\vv{AM}$. |
| * //L'étude de la continuité d'une fonction en un point pathologique est hors programme, ainsi que l'étude des recollements de formules lorsque f est définie sur R^n par plusieurs formules.// | * //L'étude de la continuité d'une fonction en un point pathologique est hors programme, ainsi que l'étude des recollements de formules lorsque f est définie sur R^n par plusieurs formules.// |
| * //La détermination de la classe d'une fonction n'est pas au programme.// | * //La détermination de la classe d'une fonction n'est pas au programme.// |
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| -Montrer que pour tout vecteur $\vv{x}=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}$ de $\R^{n}$, on a :\\ $$\ds \sup_{i\in\llbracket1,n\rrbracket}|x_{i}|\leqslant\|\vv{x}\|\leqslant\sqrt{n}\sup_{i\in\llbracket1,n\rrbracket}|x_{i}|$$ | -Montrer que pour tout vecteur $\vv{x}=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}$ de $\R^{n}$, on a : $$\ds \sup_{i\in\llbracket1,n\rrbracket}|x_{i}|\leqslant\|\vv{x}\|\leqslant\sqrt{n}\sup_{i\in\llbracket1,n\rrbracket}|x_{i}|$$ |
| - En déduire que :\\ $$\ds\forall(x,y)\in\R^{2},\;|xy|\leqslant x^{2}+y^{2}$$Remarquons que l'on a aussi :\\ $$\ds\forall(x,y)\in\R^{2},\;2|xy|\leqslant x^{2}+y^{2}$$ | - En déduire que : $$\ds\forall(x,y)\in\R^{2},\;|xy|\leqslant x^{2}+y^{2}$$ Remarquons que l'on a aussi : $$\ds\forall(x,y)\in\R^{2},\;2|xy|\leqslant x^{2}+y^{2}$$ |
| - Montrer que :\\ $$\ds\|\vv{x}\|\leqslant\sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|}$$ | - Montrer que : $$\ds\|\vv{x}\|\leqslant\sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|}$$ |
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| - Une fonction du type $f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}+\alpha_{n+1}$ où $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n},\alpha_{n+1})$ est un $(n+1)$-uplet de réels est appelée **fonction affine**.\\ Dans le cas où $\alpha_{n+1}=0$, montrer que le graphe de $f$ est un hyperplan (vectoriel) de $\R^{n+1}$.\\ Dans le cas où $\alpha_{n+1}\ne0$, on dira que le graphe de $f$ est un **hyperplan affine** de $\R^{n+1}$. | - Une fonction du type $f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}+\alpha_{n+1}$ où $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n},\alpha_{n+1})$ est un $(n+1)$-uplet de réels est appelée **fonction affine**.\\ Dans le cas où $\alpha_{n+1}=0$, montrer que le graphe de $f$ est un hyperplan (vectoriel) de $\R^{n+1}$.\\ Dans le cas où $\alpha_{n+1}\ne0$, on dira que le graphe de $f$ est un **hyperplan affine** de $\R^{n+1}$. |
| - Autres exemples de telles fonctions :\\ $$\ds f\colon(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}$$$$\ds f(x,y)=x\lfloor y\rfloor+y\lfloor x\rfloor$$$$\ds f\colon(x,y,z)\mapsto\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$$$\ds f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\ln\left(\frac{\mathrm{e}^{x_{1}}+\dots+\mathrm{e}^{x_{n}}}{n}\right)$$$$\ds f\colon(x,y)\mapsto\begin{cases} \ds\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text{si}\;(x,y)\ne(0,0) \\ 0 & \text{si}\;(x,y)=(0,0) \end{cases}$$$$\ds f(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{si}\; x<0 \\ x & \text{si}\; x\in[0,1] \\ 1 & \text{si}\; x>1 \end{cases}$$<code=scilab>function z=f(x,y) | - Autres exemples de telles fonctions : $$\ds f\colon(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}$$ $$\ds f(x,y)=x\lfloor y\rfloor+y\lfloor x\rfloor$$ $$\ds f\colon(x,y,z)\mapsto\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$ $$\ds f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\ln\left(\frac{\mathrm{e}^{x_{1}}+\dots+\mathrm{e}^{x_{n}}}{n}\right)$$ $$\ds f\colon(x,y)\mapsto\begin{cases} \ds\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text{si}\;(x,y)\ne(0,0) \\ 0 & \text{si}\;(x,y)=(0,0) \end{cases}$$ $$\ds f(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{si}\; x<0 \\ x & \text{si}\; x\in[0,1] \\ 1 & \text{si}\; x>1 \end{cases}$$ <code=scilab>function z=f(x,y) |
| if x<0 then | if x<0 then |
| z=0 | z=0 |
| endfunction | endfunction |
| x=[-3:0.01:3] ; y=x | x=[-3:0.01:3] ; y=x |
| z=feval(x,y,f) ; plot3d(x,y,z,5)</code>$$\ds f(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{si}\; x<0 \\ 1 & \text{si}\; x\geqslant1 \end{cases}$$ | z=feval(x,y,f) ; plot3d(x,y,z,5)</code> $$\ds f(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{si}\; x<0 \\ 1 & \text{si}\; x\geqslant1 \end{cases}$$ |
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| * Si un point $M$ a pour coordonnées $(x_{1},\dots,x_{n})$ dans le repère $\mathcal{R}_{n}$ de l'espace $\R^{n}$, alors on pourra écrire $f(M)$ son image par $f$ plutôt que $f(x_{1},\dots,x_{n})$ ou encore $f(x)$ ($x$ est alors le vecteurs de coordonnées $(x_{1},\dots,x_{n})$ de $\R^{n}$). | * Si un point $M$ a pour coordonnées $(x_{1},\dots,x_{n})$ dans le repère $\mathcal{R}_{n}$ de l'espace $\R^{n}$, alors on pourra écrire $f(M)$ son image par $f$ plutôt que $f(x_{1},\dots,x_{n})$ ou encore $f(x)$ ($x$ est alors le vecteurs de coordonnées $(x_{1},\dots,x_{n})$ de $\R^{n}$). |
| * On ne parlera jamais de fonctions croissantes ou décroissantes sur $\R^{n}$. | * On ne parlera jamais de fonctions croissantes ou décroissantes sur $\R^{n}$. |
| * Par contre, on peut parler de fonctions majorées (ou minorées ou bornées) sur $\R^{n}$ :\\ $$\ds\exists m\in\R\;/\;\forall(x_{1},\dots,x_{n})\in\R^{n},\; f(x_{1},\dots,x_{n})\leqslant m$$Par exemple, $\ds(x,y)\mapsto\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ (et $f(0,0)=0$) est bornée sur $\R^{2}$. | * Par contre, on peut parler de fonctions majorées (ou minorées ou bornées) sur $\R^{n}$ : $$\ds\exists m\in\R\;/\;\forall(x_{1},\dots,x_{n})\in\R^{n},\; f(x_{1},\dots,x_{n})\leqslant m$$ Par exemple, $\ds(x,y)\mapsto\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ (et $f(0,0)=0$) est bornée sur $\R^{2}$. |
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| *Soit $f\colon\R^{n}\to\R$ et $k$ un réel. On appelle **ligne de niveau** $k$ de la fonction $f$ dans le repère $\mathcal{R}_{n+1}$ la courbe obtenue par intersection du graphe de $f$ avec l'hyperplan d'équation $x_{n+1}=k$. | *Soit $f\colon\R^{n}\to\R$ et $k$ un réel. On appelle **ligne de niveau** $k$ de la fonction $f$ dans le repère $\mathcal{R}_{n+1}$ la courbe obtenue par intersection du graphe de $f$ avec l'hyperplan d'équation $x_{n+1}=k$. |
| * La définition est conforme à la notion intuitive dans le cas où $n=2$. | * La définition est conforme à la notion intuitive dans le cas où $n=2$. |
| * Code //Scilab// pour la représentation dans le cas $n=2$ :\\ <code=scilab>function z=f(x,y) | * Code //Scilab// pour la représentation dans le cas $n=2$ : <code=scilab>function z=f(x,y) |
| z=... // expression de f(x,y) | z=... // expression de f(x,y) |
| endfunction | endfunction |
| __**Exemple**__ | __**Exemple**__ |
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| Déterminer, en fonction de $k\in\R$, la ligne de niveau $k$ de :\\ $$\ds f\colon(x,y)\mapsto2x-3y+1$$$$\ds f\colon(x,y)\mapsto\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$$$\ds f\colon(x,y)\mapsto xy$$$$\ds f\colon(x,y)\mapsto\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$<code=scilab>function z=f(x,y) | Déterminer, en fonction de $k\in\R$, la ligne de niveau $k$ de : $$\ds f\colon(x,y)\mapsto2x-3y+1$$ $$\ds f\colon(x,y)\mapsto\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$ $$\ds f\colon(x,y)\mapsto xy$$ $$\ds f\colon(x,y)\mapsto\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$ <code=scilab>function z=f(x,y) |
| if [x,y]==[0,0] | if [x,y]==[0,0] |
| z=0 | z=0 |
| Soit $f\colon\R^{n}\to\R,\;(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto f(x_{1},\dots,x_{n})$. | Soit $f\colon\R^{n}\to\R,\;(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto f(x_{1},\dots,x_{n})$. |
| * Soit $u_{1},\dots,u_{n}$ des fonctions définies sur un même intervalle $I$ de $\R$, à valeurs dans $\R$. Alors, l'ensemble des points de $\R^{n+1}$ :\\ $$\left\{ (u_{1}(t),\dots,u_{n}(t),f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))\mid t\in I\right\}$$est appelé **chemin** sur la surface $S_{f}$. | * Soit $u_{1},\dots,u_{n}$ des fonctions définies sur un même intervalle $I$ de $\R$, à valeurs dans $\R$. Alors, l'ensemble des points de $\R^{n+1}$ :\\ $$\left\{ (u_{1}(t),\dots,u_{n}(t),f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))\mid t\in I\right\}$$est appelé **chemin** sur la surface $S_{f}$. |
| * Code //Scilab// pour la représentation dans le cas $n=2$ :\\ <code=scilab>function z=f(x,y) // définir aussi u1 et u2 si nécessaire | * Code //Scilab// pour la représentation dans le cas $n=2$ : <code=scilab>function z=f(x,y) // définir aussi u1 et u2 si nécessaire |
| z=... // expression de f(x,y) | z=... // expression de f(x,y) |
| endfunction | endfunction |
