math:2:fonctions_classe_c1_rn
Différences
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math:2:fonctions_classe_c1_rn [2014/11/21 00:29] – Alain Guichet | math:2:fonctions_classe_c1_rn [2020/05/10 21:19] (Version actuelle) – modification externe 127.0.0.1 | ||
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- | ^ **[[: | + | ^ **[[: |
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- | \begin{defi} | + | <box green round 100% | **Définition**> |
- | On dit que f | + | On dit que $f$ est de **classe** $\boldsymbol{\mathcal{C}^{1}}$ sur $\R^{n}$ si et seulement si $f$ admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{n}$ qui sont aussi continues sur $\R^{n}$. |
- | | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | . | + | |
- | \end{defi} | + | </ |
- | \begin{theo}[Opérations sur les fonctions de classe $\cu$] | ||
- | • On suppose que f | + | <box red round 100% | **Théorème : Opérations |
- | et g | + | |
- | sont de classe \mathcal{C}^{1} | + | |
- | | + | |
- | . Soit (\lambda, | + | |
- | . Soit \varphi | + | |
- | une fonction de classe \mathcal{C}^{1} | + | |
- | sur un intervalle I | + | |
- | de \R | + | |
- | contenant f(\R^{n}) | + | |
- | . Alors, | + | |
- | , f\times g | + | |
- | , \frac{f}{g} | + | |
- | (dans le cas où g | + | |
- | ne s' | + | |
- | ) et \varphi\circ f | + | |
- | sont de classe | + | |
- | sur \R^{n} | + | |
- | . | + | |
- | • En particulier, | + | * On suppose que $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Soit $(\lambda, |
- | | + | * En particulier, |
- | . | + | |
- | \end{theo} | + | </ |
+ | __**Exemples**__ | ||
- | \begin{exs} | + | - Justifier que la fonction |
- | + | | |
- | 1. Justifier que la fonction f | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | . | + | |
- | + | ||
- | 2. Montrer que la fonction (x, | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | . | + | |
- | + | ||
- | \end{exs} | + | |
Ligne 71: | Ligne 32: | ||
- | \begin{defi} | + | <box green round 100% | **Définition**> |
- | + | ||
- | On suppose que f | + | |
- | admet un gradient en A | + | |
- | . On dit que f | + | |
- | admet un développementDéveloppement limité limité à l' | + | |
- | au voisinage de \boldsymbol{A} | + | |
- | si et seulement si: | + | |
- | | + | |
- | ou encore: | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | \end{defi} | + | |
- | + | ||
- | \begin{exs} | + | |
- | + | ||
- | 1. Déterminer un développement limité à l' | + | |
- | en (1,-2,3) | + | |
- | de la fonction (x, | + | |
- | . | + | |
- | + | ||
- | 2. Soit q | + | |
- | la fonction définie sur \R^{3} | + | |
- | par: q(x, | + | |
- | | + | |
- | admet un développement limité à l' | + | |
- | en tout point M_{0}(x_{0}, | + | |
- | . | + | |
- | \end{exs} | + | On suppose que $f$ admet un gradient en $A$. On dit que $f$ admet un **développement limité à l' |
+ | * il existe une fonction $\varepsilon$ continue en $O$ telle que $\varepsilon(O)=0$ et\\ $$\ds f(A+H)=f(A)+\left\langle \nabla f(A), | ||
+ | * il existe une fonction $\varepsilon$ continue en $\vv{0}$ telle que $\varepsilon(\vv{0})=0$ et\\ $$\ds f(a+h)=f(a)+\left\langle \nabla f(a), | ||
+ | * il existe une fonction $\varepsilon$ continue en $A$ telle que $\varepsilon(A)=0$ et\\ $$\ds f(M)=f(A)+\left\langle \nabla f(A), | ||
- | \begin{theo}[HP? | + | </ |
- | • Une combinaison linéaire (finie) de fonctions admettant un développement limité à l' | ||
- | au voisinage du point A | ||
- | est une fonction admettant elle-même un développement limité à l' | ||
- | au voisinage du point A | ||
- | . | ||
- | • Un produit (fini) de fonctions admettant un développement limité à l' | + | __**Exemples**__ |
- | au voisinage du point A | + | |
- | est une fonction admettant elle-même un développement limité à l' | + | |
- | au voisinage du point A | + | |
- | . | + | |
- | • En particulier, | + | - Déterminer |
- | | + | |
- | | + | |
- | \end{theo} | ||
+ | <box red round 100% | **Théorème [HP?]**> | ||
+ | * Une combinaison linéaire (finie) de fonctions admettant un développement limité à l' | ||
+ | * Un produit (fini) de fonctions admettant un développement limité à l' | ||
+ | * En particulier, | ||
- | \begin{theo} | + | </ |
- | Si f | ||
- | est de classe \mathcal{C}^{1} | ||
- | sur \R^{n} | ||
- | alors elle admet un développement limité en tout point A | ||
- | de \R^{n} | ||
- | et ce développement limité est unique. | ||
- | \end{theo} | + | <box red round 100% | **Théorème**> |
+ | Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ alors elle admet un développement limité en tout point $A$ de $\R^{n}$ et ce développement limité est unique. | ||
+ | </ | ||
- | \begin{rem} | ||
- | Si f | + | __**Remarque**__ |
- | admet un développement limité à l' | + | |
- | en tout point de \R^{n} | + | |
- | alors f | + | |
- | n'est pas nécessairement de classe \mathcal{C}^{1} | + | |
- | sur \R^{n} | + | |
- | , par contre f | + | |
- | est nécessairement continue sur \R^{n} | + | |
- | . L' | + | |
- | \end{rem} | + | Si $f$ admet un développement limité à l' |
- | ^ **[[: | + | ^ **[[: |
math/2/fonctions_classe_c1_rn.1416526140.txt.gz · Dernière modification : 2020/05/10 21:16 (modification externe)