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math:2:fonctions_classe_c1_rn

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math:2:fonctions_classe_c1_rn [2014/11/21 00:29] Alain Guichetmath:2:fonctions_classe_c1_rn [2020/05/10 21:19] (Version actuelle) – modification externe 127.0.0.1
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-^ **[[:math:2:index#chapitre_11 | Fct sur R^n > ]]** | [[:math:2:fonctions_sur_rn|Généralités]] | [[:math:2:continuite_sur_rn|Continuité]] | [[:math:2:derivees_partielles|Dériv part]] | [[:math:2:fonctions_classe_c1_rn| Classe C^1]] | [[:math:2:derivees_directionnelles|Dériv direc]] | [[:math:2:point_critique|Extremum]] |+^ **[[:math:2:index#fonctions_sur_r_n | Fct sur R^n > ]]** | [[:math:2:fonctions_sur_rn|Généralités]] | [[:math:2:continuite_sur_rn|Continuité]] | [[:math:2:derivees_partielles|Dériv part]] | [[:math:2:fonctions_classe_c1_rn| Classe C^1]] | [[:math:2:derivees_directionnelles|Dériv direc]] | [[:math:2:point_critique|Extremum]] |
  
  
Ligne 8: Ligne 8:
    
  
-\begin{defi}+<box green round 100% | **Définition**>
  
-On dit que f +On dit que $fest de **classe** $\boldsymbol{\mathcal{C}^{1}}sur $\R^{n}si et seulement si $fadmet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{n}qui sont aussi continues sur $\R^{n}$.
-  est de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^{1}} +
-  sur \boldsymbol{\R^{n}+
-  si et seulement si f +
-  admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur \R^{n} +
-  qui sont aussi continues sur \R^{n} +
- .+
  
-\end{defi}+</box>
  
-\begin{theo}[Opérations sur les fonctions de classe $\cu$] 
  
-• On suppose que f +<box red round 100% | **Théorème : Opérations sur les fonctions de classe C^1**>
-  et g +
-  sont de classe \mathcal{C}^{1} +
-  sur \R^{n} +
- . Soit (\lambda,\mu)\in\R^{2} +
- . Soit \varphi +
-  une fonction de classe \mathcal{C}^{1} +
-  sur un intervalle I +
-  de \R +
-  contenant f(\R^{n}) +
- . Alors, les fonctions \lambda f+\mu g +
- , f\times g +
- , \frac{f}{g} +
-  (dans le cas où g +
-  ne s'annule pas sur \R^{n} +
- ) et \varphi\circ f +
-  sont de classe \mathcal{C}^{1+
-  sur \R^{n} +
- .+
  
-• En particulier, toute fonction polynôme est de classe \mathcal{C}^{1} +  * On suppose que $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Soit $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$. Soit $\varphi$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un intervalle $I$ de $\R$ contenant $f(\R^{n})$. Alors, les fonctions $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\dfrac{f}{g}$ (dans le cas où $g$ ne s'annule pas sur $\R^{n}$) et $\varphi\circ f$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. 
-  sur \R^{n} +  * En particulier, toute fonction polynôme est de classe $\mathcal{C}^{1}sur $\R^{n}$.
- .+
  
-\end{theo}+</box>
  
  
 +__**Exemples**__
  
-\begin{exs} +  - Justifier que la fonction $fdéfinie sur $\R^{n}par $f(x_{1},\dots,x_{n})={}^t\!XAX$ où $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$ est de classe $\mathcal{C}^{1}sur $\R^{n}$
- +  Montrer que la fonction $(x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})est de classe $\mathcal{C}^{1}sur $\R^{3}\setminus\{(0,0,0)\}$.
-1. Justifier que la fonction f +
-  définie sur \R^{n} +
-  par f(x_{1},\dots,x_{n})=\trans{X}AX +
-  où A\in\MnR +
-  est de classe \mathcal{C}^{1} +
-  sur \R^{n} +
- +
- +
-2. Montrer que la fonction (x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2}) +
-  est de classe \mathcal{C}^{1} +
-  sur \R^{3}\setminus\{(0,0,0)\} +
- . +
- +
-\end{exs}+
  
  
Ligne 71: Ligne 32:
  
  
-\begin{defi} +<box green round 100% **Définition**>
- +
-On suppose que f +
-  admet un gradient en A +
- . On dit que f +
-  admet un développementDéveloppement limité limité à l'ordre \boldsymbol{1} +
-  au voisinage de \boldsymbol{A} +
-  si et seulement si:f(A+H)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{OH}\right\rangle +\|\vv{OH}\|\varepsilon\left(H\right)\qquad\text{avec}\;\varepsilon(O)=0\;\text{et}\;\varepsilon\text{ continue en }O +
- f(a+h)=f(a)+\left\langle \nabla f(a),h\right\rangle +\|h\|\varepsilon\left(h\right)\qquad\text{avec}\;\varepsilon(O)=0\;\text{et}\;\varepsilon\text{ continue en }O +
- ou encore:f(M)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{AM}\right\rangle +\|\vv{AM}\|\varepsilon\left(M\right)\qquad\text{avec}\;\varepsilon(A)=0\;\text{et}\;\varepsilon\text{ continue en }A +
-  +
- +
-\end{defi} +
- +
-\begin{exs} +
- +
-1. Déterminer un développement limité à l'ordre 1 +
-  en (1,-2,3) +
-  de la fonction (x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2}) +
- . +
- +
-2. Soit q +
-  la fonction définie sur \R^{3} +
-  par: q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2\alpha xy+2\beta xz+2\gamma yz +
- .Montrer que q +
-  admet un développement limité à l'ordre 1 +
-  en tout point M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) +
- .+
  
-\end{exs}+On suppose que $f$ admet un gradient en $A$. On dit que $f$ admet un **développement limité à l'ordre 1 au voisinage de** $\boldsymbol{A}$ si et seulement si l'une des trois propositions suivantes est vérifiée: 
 +  * il existe une fonction $\varepsilon$ continue en $O$ telle que $\varepsilon(O)=0$ et\\ $$\ds f(A+H)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{OH}\right\rangle +\|\vv{OH}\|\varepsilon\left(H\right)$$ 
 +  * il existe une fonction $\varepsilon$ continue en $\vv{0}$ telle que $\varepsilon(\vv{0})=0$ et\\ $$\ds f(a+h)=f(a)+\left\langle \nabla f(a),h\right\rangle +\|h\|\varepsilon\left(h\right)$$ 
 +  * il existe une fonction $\varepsilon$ continue en $A$ telle que $\varepsilon(A)=0$ et\\ $$\ds f(M)=f(A)+\left\langle \nabla f(A),\vv{AM}\right\rangle +\|\vv{AM}\|\varepsilon\left(M\right)$$
  
-\begin{theo}[HP?]+</box>
  
-• Une combinaison linéaire (finie) de fonctions admettant un développement limité à l'ordre 1 
-  au voisinage du point A 
-  est une fonction admettant elle-même un développement limité à l'ordre 1 
-  au voisinage du point A 
- . 
  
-• Un produit (fini) de fonctions admettant un développement limité à l'ordre 1 +__**Exemples**__
-  au voisinage du point A +
-  est une fonction admettant elle-même un développement limité à l'ordre 1 +
-  au voisinage du point A +
- .+
  
-• En particulier, toute fonction polynôme admet un développement limité à l'ordre 1 +  - Déterminer un développement limité à l'ordre 1 en $(1,-2,3)$ de la fonction $(x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$. 
-  en tout point de \R^{n+  - Soit $q$ la fonction définie sur $\R^{3}$ par :\\ $$q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2\alpha xy+2\beta xz+2\gamma yz$$Montrer que $q$ admet un développement limité à l'ordre 1 en tout point $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$.
-  (et donc aussi toutes les fonction affines).+
  
-\end{theo} 
  
 +<box red round 100% | **Théorème [HP?]**>
  
 +  * Une combinaison linéaire (finie) de fonctions admettant un développement limité à l'ordre 1 au voisinage du point $A$ est une fonction admettant elle-même un développement limité à l'ordre 1 au voisinage du point $A$.
 +  * Un produit (fini) de fonctions admettant un développement limité à l'ordre 1 au voisinage du point $A$ est une fonction admettant elle-même un développement limité à l'ordre 1 au voisinage du point $A$.
 +  * En particulier, toute fonction polynôme admet un développement limité à l'ordre 1 en tout point de $\R^{n}$ (et donc aussi toutes les fonction affines).
  
-\begin{theo}+</box>
  
-Si f 
-  est de classe \mathcal{C}^{1} 
-  sur \R^{n} 
-  alors elle admet un développement limité en tout point A 
-  de \R^{n} 
-  et ce développement limité est unique. 
  
-\end{theo}+<box red round 100% | **Théorème**>
  
 +Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ alors elle admet un développement limité en tout point $A$ de $\R^{n}$ et ce développement limité est unique.
  
 +</box>
  
-\begin{rem} 
  
-Si f +__**Remarque**__
-  admet un développement limité à l'ordre 1 +
-  en tout point de \R^{n} +
-  alors f +
-  n'est pas nécessairement de classe \mathcal{C}^{1} +
-  sur \R^{n} +
- , par contre f +
-  est nécessairement continue sur \R^{n} +
- . L'existence d'un développement limité est donc plus contraignante que l'existence du gradient puisque dans le premier cas, on est assuré de la continuité alors que dans le second cas, on n'a aucune assurance.+
  
-\end{rem}+Si $f$ admet un développement limité à l'ordre 1 en tout point de $\R^{n}$ alors $f$ n'est pas nécessairement de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$, par contre $f$ est nécessairement continue sur $\R^{n}$. L'existence d'un développement limité est donc plus contraignante que l'existence du gradient puisque dans le premier cas, on est assuré de la continuité alors que dans le second cas, on n'a aucune assurance.
  
  
-^ **[[:math:2:index#chapitre_11 | Fct sur R^n > ]]** | [[:math:2:fonctions_sur_rn|Généralités]] | [[:math:2:continuite_sur_rn|Continuité]] | [[:math:2:derivees_partielles|Dériv part]] | [[:math:2:fonctions_classe_c1_rn| Classe C^1]] | [[:math:2:derivees_directionnelles|Dériv direc]] | [[:math:2:point_critique|Extremum]] |+^ **[[:math:2:index#fonctions_sur_r_n | Fct sur R^n > ]]** | [[:math:2:fonctions_sur_rn|Généralités]] | [[:math:2:continuite_sur_rn|Continuité]] | [[:math:2:derivees_partielles|Dériv part]] | [[:math:2:fonctions_classe_c1_rn| Classe C^1]] | [[:math:2:derivees_directionnelles|Dériv direc]] | [[:math:2:point_critique|Extremum]] |
  
math/2/fonctions_classe_c1_rn.1416526140.txt.gz · Dernière modification : 2020/05/10 21:16 (modification externe)