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math:2:fonction_classe_c2

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math:2:fonction_classe_c2 [2020/05/10 21:19]
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math:2:fonction_classe_c2 [2020/06/22 10:45] (Version actuelle)
Alain Guichet
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   * On dit que $f$ admet une **dérivée partielle d'​ordre 2** par rapport à la variable numéro $i$ puis par rapport à la variable numéro $j$ au point $A$ de $\mathcal{O}$ si et seulement si la fonction $\partial_{i}(f)$ admet une dérivée partielle d'​ordre 1 par rapport à la variable numéro $j$ au point $A$ et on la note alors $\partial_{j,​i}^{2}(f)(A)$.   * On dit que $f$ admet une **dérivée partielle d'​ordre 2** par rapport à la variable numéro $i$ puis par rapport à la variable numéro $j$ au point $A$ de $\mathcal{O}$ si et seulement si la fonction $\partial_{i}(f)$ admet une dérivée partielle d'​ordre 1 par rapport à la variable numéro $j$ au point $A$ et on la note alors $\partial_{j,​i}^{2}(f)(A)$.
-  * On dit que $f$ admet une **fonction dérivée partielle d'​ordre 2** par rapport à la variable numéro $i$ puis par rapport à la variable numéro $j$ sur $\mathcal{O}}$ si et seulement si la fonction $\partial_{i}(f)$ admet une fonction dérivée partielle d'​ordre 1 par rapport à la variable numéro $j$ sur $\mathcal{O}$ et on la note alors :\\ $$\ds\partial_{j,​i}^{2}(f)\colon M\mapsto\partial_{j,​i}^{2}(f)(M)$$Remarquons donc que :\\ $$\partial_{j,​i}^{2}(f)=\partial_j(\partial_i(f))$$+  * On dit que $f$ admet une **fonction dérivée partielle d'​ordre 2** par rapport à la variable numéro $i$ puis par rapport à la variable numéro $j$ sur $\mathcal{O}$ si et seulement si la fonction $\partial_{i}(f)$ admet une fonction dérivée partielle d'​ordre 1 par rapport à la variable numéro $j$ sur $\mathcal{O}$ et on la note alors :\\ $$\ds\partial_{j,​i}^{2}(f)\colon M\mapsto\partial_{j,​i}^{2}(f)(M)$$Remarquons donc que : $$\partial_{j,​i}^{2}(f)=\partial_j(\partial_i(f))$$
  
 </​box>​ </​box>​
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 <box 100% green round | **Définition**>​ <box 100% green round | **Définition**>​
 * *
-Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. On dit que $f\colon\mathcal{O}\to\R$ est de **classe** $\mathcal{C}^{2}}$ sur $\mathcal{O}$ si et seulement si l'une des propriétés (équivalentes) suivantes est vérifiée :+Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. On dit que $f\colon\mathcal{O}\to\R$ est de **classe** $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ si et seulement si l'une des propriétés (équivalentes) suivantes est vérifiée :
   * $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ et toutes ses fonctions dérivées partielles d'​ordre 1 sont aussi de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$,​   * $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ et toutes ses fonctions dérivées partielles d'​ordre 1 sont aussi de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$,​
   * $f$ admet des fonctions dérivées partielles d'​ordre 2 par rapport à tout couple $(h,k)$ de numéros de variables qui sont continues sur $\mathcal{O}$.   * $f$ admet des fonctions dérivées partielles d'​ordre 2 par rapport à tout couple $(h,k)$ de numéros de variables qui sont continues sur $\mathcal{O}$.
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 Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$. Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$.
  
-  * Soit $(i,​j)\in\llbracket1,​n\rrbracket^{2}$ tel que $i\ne j$. Si $\partial_{i,​j}^{2}(f)$ et $\partial_{j,​i}^{2}(f)$ sont définies et continues « autour » d'un point $A$ de $\mathcal{O}$,​ alors :\\ $$\ds\partial_{i,​j}^{2}(f)(A)=\partial_{j,​i}^{2}(f)(A)$$+  * Soit $(i,​j)\in\llbracket1,​n\rrbracket^{2}$ tel que $i\ne j$. Si $\partial_{i,​j}^{2}(f)$ et $\partial_{j,​i}^{2}(f)$ sont définies et continues « autour » d'un point $A$ de $\mathcal{O}$,​ alors : $$\ds\partial_{i,​j}^{2}(f)(A)=\partial_{j,​i}^{2}(f)(A)$$
   * Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ alors, pour tout couple $(i,​j)\in\llbracket1,​n\rrbracket^{2}$ tel que $i\ne j$, on a :\\ $$\ds\partial_{i,​j}^{2}(f)=\partial_{j,​i}^{2}(f)$$(égalité des fonctions sur $\mathcal{O}$).   * Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ alors, pour tout couple $(i,​j)\in\llbracket1,​n\rrbracket^{2}$ tel que $i\ne j$, on a :\\ $$\ds\partial_{i,​j}^{2}(f)=\partial_{j,​i}^{2}(f)$$(égalité des fonctions sur $\mathcal{O}$).
  
math/2/fonction_classe_c2.txt · Dernière modification: 2020/06/22 10:45 par Alain Guichet