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math:2:fonction_classe_c2 [2016/01/12 11:37] – Alain Guichet | math:2:fonction_classe_c2 [2020/06/22 10:45] (Version actuelle) – Alain Guichet |
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* On dit que $f$ admet une **dérivée partielle d'ordre 2** par rapport à la variable numéro $i$ puis par rapport à la variable numéro $j$ au point $A$ de $\mathcal{O}$ si et seulement si la fonction $\partial_{i}(f)$ admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à la variable numéro $j$ au point $A$ et on la note alors $\partial_{j,i}^{2}(f)(A)$. | * On dit que $f$ admet une **dérivée partielle d'ordre 2** par rapport à la variable numéro $i$ puis par rapport à la variable numéro $j$ au point $A$ de $\mathcal{O}$ si et seulement si la fonction $\partial_{i}(f)$ admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à la variable numéro $j$ au point $A$ et on la note alors $\partial_{j,i}^{2}(f)(A)$. |
* On dit que $f$ admet une **fonction dérivée partielle d'ordre 2** par rapport à la variable numéro $i$ puis par rapport à la variable numéro $j$ sur $\mathcal{O}}$ si et seulement si la fonction $\partial_{i}(f)$ admet une fonction dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à la variable numéro $j$ sur $\mathcal{O}$ et on la note alors :\\ $$\ds\partial_{j,i}^{2}(f)\colon M\mapsto\partial_{j,i}^{2}(f)(M)$$Remarquons donc que :\\ $$\partial_{j,i}^{2}(f)=\partial_j(\partial_i(f))$$ | * On dit que $f$ admet une **fonction dérivée partielle d'ordre 2** par rapport à la variable numéro $i$ puis par rapport à la variable numéro $j$ sur $\mathcal{O}$ si et seulement si la fonction $\partial_{i}(f)$ admet une fonction dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à la variable numéro $j$ sur $\mathcal{O}$ et on la note alors :\\ $$\ds\partial_{j,i}^{2}(f)\colon M\mapsto\partial_{j,i}^{2}(f)(M)$$Remarquons donc que : $$\partial_{j,i}^{2}(f)=\partial_j(\partial_i(f))$$ |
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<box 100% green round | **Définition**> | <box 100% green round | **Définition**> |
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Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. On dit que $f\colon\mathcal{O}\to\R$ est de **classe** $\mathcal{C}^{2}}$ sur $\mathcal{O}$ si et seulement si l'une des propriétés (équivalentes) suivantes est vérifiée : | Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. On dit que $f\colon\mathcal{O}\to\R$ est de **classe** $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ si et seulement si l'une des propriétés (équivalentes) suivantes est vérifiée : |
* $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ et toutes ses fonctions dérivées partielles d'ordre 1 sont aussi de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$, | * $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ et toutes ses fonctions dérivées partielles d'ordre 1 sont aussi de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$, |
* $f$ admet des fonctions dérivées partielles d'ordre 2 par rapport à tout couple $(h,k)$ de numéros de variables qui sont continues sur $\mathcal{O}$. | * $f$ admet des fonctions dérivées partielles d'ordre 2 par rapport à tout couple $(h,k)$ de numéros de variables qui sont continues sur $\mathcal{O}$. |
Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$. | Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\R^{n}$. Soit $f\colon\mathcal{O}\to\R$. |
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* Soit $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}$ tel que $i\ne j$. Si $\partial_{i,j}^{2}(f)$ et $\partial_{j,i}^{2}(f)$ sont définies et continues « autour » d'un point $A$ de $\mathcal{O}$, alors :\\ $$\ds\partial_{i,j}^{2}(f)(A)=\partial_{j,i}^{2}(f)(A)$$ | * Soit $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}$ tel que $i\ne j$. Si $\partial_{i,j}^{2}(f)$ et $\partial_{j,i}^{2}(f)$ sont définies et continues « autour » d'un point $A$ de $\mathcal{O}$, alors : $$\ds\partial_{i,j}^{2}(f)(A)=\partial_{j,i}^{2}(f)(A)$$ |
* Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ alors, pour tout couple $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}$ tel que $i\ne j$, on a :\\ $$\ds\partial_{i,j}^{2}(f)=\partial_{j,i}^{2}(f)$$(égalité des fonctions sur $\mathcal{O}$). | * Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{O}$ alors, pour tout couple $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}$ tel que $i\ne j$, on a :\\ $$\ds\partial_{i,j}^{2}(f)=\partial_{j,i}^{2}(f)$$(égalité des fonctions sur $\mathcal{O}$). |
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