| Les deux révisions précédentesRévision précédenteProchaine révision | Révision précédenteDernière révisionLes deux révisions suivantes |
| math:2:familles_orthogonales [2020/05/25 09:57] – Alain Guichet | math:2:familles_orthogonales [2020/05/25 10:03] – Alain Guichet |
|---|
| <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:gram_schmidt|Orthonormalisation de Gram-Schmidt]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:gram_schmidt|Orthonormalisation de Gram-Schmidt]]**> |
| |
| Soit $\left\langle .,.\right\rangle$ un produit scalaire sur $E$ et $(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{p})$ une famille libre dans $E$. Alors, il existe une famille orthonormale $(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p})$ de $E$ telle que :\\ $$\ds\forall k\in\llbracket1,p\rrbracket,\;\mathrm{Vect}(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{k})=\mathrm{Vect}(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{k})$$De plus, on peut construire par récurrence $(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p})$ de sorte que, pour tout $k\in\llbracket1,p\rrbracket$, on a :\\ $$\ds\vv*{x}{k}=\frac{1}{\|\vv*{y}{k}\|}\vv*{y}{k}$$avec :\\ $$\ds\vv*{y}{k}=\vv*{e}{k}-\sum_{i=1}^{k-1}{\left\langle \vv*{e}{k},\vv*{x}{i}\right\rangle \vv*{x}{i}}$$ | Soit $\left\langle .,.\right\rangle$ un produit scalaire sur $E$ et $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_p})$ une famille libre dans $E$. Alors, il existe une famille orthonormale $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ de $E$ telle que : $$\ds\forall k\in\llbracket1,p\rrbracket,\;\mathrm{Vect}(\vv{x_1},\dots,\vv{x_k})=\mathrm{Vect}(\vv{e_1},\dots,\vv{e_k})$$ De plus, on peut construire par récurrence $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ de sorte que, pour tout $k\in\llbracket1,p\rrbracket$, on a : $$\ds\vv{x_k}=\frac{1}{\|\vv{y_k}\|}\vv{y_k}\qquad\text{avec}\qquad\vv{y_k}=\vv{e_k}-\sum_{i=1}^{k-1}{\left\langle \vv{e_k},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}}$$ |
| |
| </box> | </box> |
| __**Remarque**__ | __**Remarque**__ |
| |
| Soit $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}\right)$ et $\left(\vv*{y}{1},\dots,\vv*{y}{p}\right)$ deux familles libres telles que les deux sous-espaces qu'elles engendrent sont orthogonaux. On sait déjà que la concaténation des deux familles libres est libre (puisque les deux sous-espaces engendrés sont orthogonaux). Alors, le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur la famille $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p},\vv*{y}{1},\dots,\vv*{y}{p}\right)$ consiste à orthonormaliser seulement chacune des deux familles initiales. | Soit $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)$ et $\left(\vv{y_1},\dots,\vv{y_q}\right)$ deux familles libres telles que les deux sous-espaces qu'elles engendrent sont orthogonaux. On sait déjà que la concaténation des deux familles libres est libre (puisque les deux sous-espaces engendrés sont orthogonaux). Alors, le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur la famille $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p},\vv{y_1},\dots,\vv{y_q}\right)$ consiste à orthonormaliser seulement chacune des deux familles initiales. |
| |
| |
| |
| ^ [[:math:2:index#chapitre_06|Esp Eucli > ]] | [[:math:2:produit_scalaire|Prod scal]] | [[:math:2:norme|Norme]] | [[:math:2:orthogonalite|Ortho]] | [[:math:2:familles_orthogonales|Fam ortho]] | [[:math:2:bases_orthonormales|Bases ortho]] | [[:math:2:supplementaire_orthogonal|Supplé ortho]] | | ^ [[:math:2:index#chapitre_06|Esp Eucli > ]] | [[:math:2:produit_scalaire|Prod scal]] | [[:math:2:norme|Norme]] | [[:math:2:orthogonalite|Ortho]] | [[:math:2:familles_orthogonales|Fam ortho]] | [[:math:2:bases_orthonormales|Bases ortho]] | [[:math:2:supplementaire_orthogonal|Supplé ortho]] | |
