| Soit $\left\langle .,.\right\rangle$ un produit scalaire sur $E$ et $(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{p})$ une famille libre dans $E$. Alors, il existe une famille orthonormale $(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p})$ de $E$ telle que :\\ $$\ds\forall k\in\llbracket1,p\rrbracket,\;\mathrm{Vect}(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{k})=\mathrm{Vect}(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{k})$$De plus, on peut construire par récurrence $(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p})$ de sorte que, pour tout $k\in\llbracket1,p\rrbracket$, on a :\\ $$\ds\vv*{x}{k}=\frac{1}{\|\vv*{y}{k}\|}\vv*{y}{k}$$avec :\\ $$\ds\vv*{y}{k}=\vv*{e}{k}-\sum_{i=1}^{k-1}{\left\langle \vv*{e}{k},\vv*{x}{i}\right\rangle \vv*{x}{i}}$$ | Soit $\left\langle .,.\right\rangle$ un produit scalaire sur $E$ et $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_p})$ une famille libre dans $E$. Alors, il existe une famille orthonormale $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ de $E$ telle que : $$\ds\forall k\in\llbracket1,p\rrbracket,\;\mathrm{Vect}(\vv{x_1},\dots,\vv{x_k})=\mathrm{Vect}(\vv{e_1},\dots,\vv{e_k})$$ De plus, on peut construire par récurrence $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ de sorte que, pour tout $k\in\llbracket1,p\rrbracket$, on a : $$\ds\vv{x_k}=\frac{1}{\|\vv{y_k}\|}\vv{y_k}\qquad\text{avec}\qquad\vv{y_k}=\vv{e_k}-\sum_{i=1}^{k-1}{\left\langle \vv{e_k},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}}$$ |
