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math:2:fam_vect

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math:2:fam_vect [2020/05/12 00:08] – Alain Guichetmath:2:fam_vect [2020/05/12 00:16] (Version actuelle) – Alain Guichet
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 <box 100% green round | **Définition**> <box 100% green round | **Définition**>
  
-Soit $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$ une famille de vecteurs de $E$. +Soit $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$ une famille de vecteurs de $E$. 
-  * Cette famille est dite **libre** dans $E$ (ou linéairement indépendante) si et seulement si :\\ $$\ds\forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n},\quad\big[\lambda_{1}\vv*{x}{1}+\dots+\lambda_{n}\vv*{x}{n}=\vv*{0}{E}\quad\implies\quad\lambda_{1}=\dots=\lambda_{n}=0\big]$$Dans le cas contraire, la famille est dite **liée**. +  * Cette famille est dite **libre** dans $E$ (ou linéairement indépendante) si et seulement si :\\ $$\ds\forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n},\quad\big[\lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{n}\vv{x_n}=\vv{0_E}\quad\implies\quad\lambda_{1}=\dots=\lambda_{n}=0\big]$$ Dans le cas contraire, la famille est dite **liée**. 
-  * Cette famille est dite **génératrice** de $E$ si et seulement si :\\ $$\ds E=\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$$c'est à dire si et seulement si :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\exists(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n}\;/\;\vv{x}=\lambda_{1}\vv*{x}{1}+\dots+\lambda_{n}\vv*{x}{n}$$ +  * Cette famille est dite **génératrice** de $E$ si et seulement si :\\ $$\ds E=\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$$ c'est à dire si et seulement si :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\exists(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n}\;/\;\vv{x}=\lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{n}\vv{x_n}$$ 
-  * Cette famille est appelée **base** de $E$ si et seulement si elle est libre et génératrice de $E$, c'est à dire que :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\exists!(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n}\;/\;\vv{x}=\lambda_{1}\vv*{x}{1}+\dots+\lambda_{n}\vv*{x}{n}$$La famille de scalaires $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ est alors appelée **famille de coordonnées** du vecteur $\vv{x}$ dans la base $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$.+  * Cette famille est appelée **base** de $E$ si et seulement si elle est libre et génératrice de $E$, c'est à dire que :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\exists!(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n}\;/\;\vv{x}=\lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{n}\vv{x_n}$$ La famille de scalaires $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ est alors appelée **famille de coordonnées** du vecteur $\vv{x}$ dans la base $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$.
  
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 <box 100% green round | **Définitions**> <box 100% green round | **Définitions**>
  
-  * Si $E=\{\vv*{0}{E}\}$ alors $E$ n'admet pas de base et on convient que $\dim(E)=0$. +  * Si $E=\{\vv{0_E}\}$ alors $E$ n'admet pas de base et on convient que $\dim(E)=0$. 
-  * Si $E\neq\{\vv*{0}{E}\}$ et si $E$ admet une famille génératrice (finie) alors on appelle **dimension** de $E$ et on note $\dim(E)$ le cardinal commun à toute base+  * Si $E\neq\{\vv{0_E}\}$ et si $E$ admet une famille génératrice (finie) alors on appelle **dimension** de $E$ et on note $\dim(E)$ le cardinal commun à toute base
   * On appelle **rang** d'une famille de vecteurs la dimension du sous-espace vectoriel qu'elle engendre.\\ Code Scilab : <code=scilab>rank([x1,x2,...])</code>   * On appelle **rang** d'une famille de vecteurs la dimension du sous-espace vectoriel qu'elle engendre.\\ Code Scilab : <code=scilab>rank([x1,x2,...])</code>
  
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     - Déterminer une base de $H$ et en déduire la dimension de $H$.     - Déterminer une base de $H$ et en déduire la dimension de $H$.
   - Montrer qu'une famille de polynômes de $\K_n[X]$ de degré deux à deux distincts est une famille libre.   - Montrer qu'une famille de polynômes de $\K_n[X]$ de degré deux à deux distincts est une famille libre.
-  - Soit $n\in\N^{*}$. Soit $(a_{0},a_{1},\dots,a_{n})\in\K^{n+1}$ une famille de scalaires deux à deux distincts. On pose :\\ $$\ds\forall k\in\llbracket0,n\rrbracket,\;L_{k}=\prod_{i\in\llbracket0,n\rrbracket\setminus\left\{ k\right\} }\left(\frac{X-a_{i}}{a_{k}-a_{i}}\right)$$ +  - Soit $n\in\N^{*}$. Soit $(a_{0},a_{1},\dots,a_{n})\in\K^{n+1}$ une famille de scalaires deux à deux distincts. On pose :\\ $$\ds\forall k\in[\![0,n]\!],\;L_{k}=\prod_{i\in[\![0,n]\!]\setminus\left\{ k\right\} }\left(\frac{X-a_{i}}{a_{k}-a_{i}}\right)$$ 
-    - Calculer $L_{k}(a_{j})$ pour tout couple $(k,j)\in\llbracket0,n\rrbracket^{2}$.+    - Calculer $L_{k}(a_{j})$ pour tout couple $(k,j)\in[\![0,n]\!]^{2}$.
     - En déduire que $(L_{0},L_{1},\dots,L_{n})$ est une base de $\K_{n}[X]$.     - En déduire que $(L_{0},L_{1},\dots,L_{n})$ est une base de $\K_{n}[X]$.
     - Déterminer les coordonnées de $P\in\K_{n}[X]$ dans cette base.     - Déterminer les coordonnées de $P\in\K_{n}[X]$ dans cette base.
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 <box 100% red round | **Théorème : [[.:demo:base_incomplete|Théorème de la base incomplète]]**> <box 100% red round | **Théorème : [[.:demo:base_incomplete|Théorème de la base incomplète]]**>
  
-On suppose que $E$ est de dimension finie $n\geqslant2$. Toute famille libre dans $E$ peut être complétée en une base de $E$. Autrement dit, pour tout $p\in\llbracket1,n-1\rrbracket$ et toute famille libre $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}\right)$ de vecteurs de $E$, il existe une famille $\left(\vv*{x}{p+1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$ de vecteurs de $E$ telle que $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$ est une base de $E$.+On suppose que $E$ est de dimension finie $n\geqslant2$. Toute famille libre dans $E$ peut être complétée en une base de $E$. Autrement dit, pour tout $p\in[\![1,n-1]\!]$ et toute famille libre $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)$ de vecteurs de $E$, il existe une famille $\left(\vv{x_{p+1}},\dots,\vv{x_n}\right)$ de vecteurs de $E$ telle que $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$ est une base de $E$.
  
 </box> </box>
Ligne 89: Ligne 89:
 On suppose que $E$ est de dimension finie. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors : On suppose que $E$ est de dimension finie. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors :
   * $F$ est de dimension finie et : $0\leqslant\dim(F)\leqslant\dim(E)$,   * $F$ est de dimension finie et : $0\leqslant\dim(F)\leqslant\dim(E)$,
-  * $F=\left\{ \vv*{0}{E}\right\}$ si et seulement si $\dim(F)=0$,+  * $F=\left\{ \vv{0_E}\right\}$ si et seulement si $\dim(F)=0$,
   * $F=E$ si et seulement si $\dim(F)=\dim(E)$,   * $F=E$ si et seulement si $\dim(F)=\dim(E)$,
   * Soit $G$ un autre sous-espace vectoriel de $E$. Alors, $F=G$ si et seulement si $F\subset G$ et $\dim(F)=\dim(G)$.   * Soit $G$ un autre sous-espace vectoriel de $E$. Alors, $F=G$ si et seulement si $F\subset G$ et $\dim(F)=\dim(G)$.
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 __**Exemple**__\\ __**Exemple**__\\
-On considère les ensembles $P=\left\{ \left.\begin{pmatrix}x\\ +On considère les ensembles $P=\left\{ \left.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z \end{pmatrix}\in\R^{3}\right|\, x-2y+z=0\right\}$ et $F=\mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\right)$.
-y\\ +
-z +
-\end{pmatrix}\in\R^{3}\right|\, x-2y+z=0\right\}$ et $F=\mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\ +
-1\\ +
-1 +
-\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\ +
-2\\ +
-1 +
-\end{pmatrix}\right)$.+
   - Justifier que $P$ est un sous-espace vectoriel de $\R^{3}$ dont on donnera une base.   - Justifier que $P$ est un sous-espace vectoriel de $\R^{3}$ dont on donnera une base.
   - Montrer que $P=F$.   - Montrer que $P=F$.
math/2/fam_vect.txt · Dernière modification : 2020/05/12 00:16 de Alain Guichet