Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:extremum_sous_contrainte [2016/02/02 07:46] – Alain Guichet
+++ math:2:extremum_sous_contrainte [2019/02/08 16:30] – [Contrainte quelconque] Alain Guichet
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     - Montrer que $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sont des contraintes non critiques.
     - Montrer que $f$ admet un maximum et un minimum local sous chacune de ces deux contraintes.
-  - Soit $f$ définie sur $\R^{3}$ par : $f(x,y)=xyz$.\\ Soit $\mathcal{C}_{1}=\left\{ (x,y,z)\in\R^{3}\mid x+y+z=1\right\} $ et $\mathcal{C}_{2}=\left\{ (x,y,z)\in\R^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\} $.
+  - Soit $f$ définie sur $\R^{3}$ par : $f(x,y,z)=xyz$.\\ Soit $\mathcal{C}_{1}=\left\{ (x,y,z)\in\R^{3}\mid x+y+z=1\right\} $ et $\mathcal{C}_{2}=\left\{ (x,y,z)\in\R^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\} $.
     - Montrer que $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sont des contraintes non critiques.
     - Montrer que $f$ admet un maximum et un minimum local sous chacune de ces deux contraintes.
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 <box 100% red round | **Théorème : Condition nécessaire d'ordre 1**, (admis)>
-Soit $f$ définie et de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$. Soit $\mathcal{C}=\left\{ M\in\mathcal{O}\mid\varphi(M)=c\right\} $ une contrainte non critique où $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ et $c$ un réel. Si $f$ admet un extremum local en $A$ sous la contrainte $\mathcal{C}$ alors :\\ $$\ds A\in\mathcal{C}\qquad\varphi(A)=c\qquad\exists\lambda\in\R\;/\;\nabla f(A)=\lambda\nabla\varphi(A)$$
+Soit $f$ définie et de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un ouvert $\mathcal{O}$ de $\R^{n}$. Soit $\mathcal{C}=\left\{ M\in\mathcal{O}\mid\varphi(M)=c\right\} $ une contrainte non critique où $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{O}$ et $c$ un réel. Si $f$ admet un extremum local en $A$ sous la contrainte $\mathcal{C}$ alors :\\ $$\ds A\in\mathcal{C}\quad(\iff\;\varphi(A)=c)\qquad\text{et}\qquad\exists\lambda\in\R\;/\;\nabla f(A)=\lambda\nabla\varphi(A)$$
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