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math:2:ev_sev [2020/05/11 00:26] – [Espaces et sous-espaces vectoriels] Alain Guichet | math:2:ev_sev [2020/05/11 23:43] (Version actuelle) – Alain Guichet |
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\forall\left(\vv{x},\vv{y}\right)\in E^{2},\;\vv{y}+\vv{x}=\vv{x}+\vv{y} & \forall\left(\lambda,\vv{x},\vv{y}\right)\in\K\times E^{2},\;\lambda\cdot\left(\vv{x}+\vv{y}\right)=\lambda\cdot\vv{x}+\lambda\cdot\vv{y}\\ | \forall\left(\vv{x},\vv{y}\right)\in E^{2},\;\vv{y}+\vv{x}=\vv{x}+\vv{y} & \forall\left(\lambda,\vv{x},\vv{y}\right)\in\K\times E^{2},\;\lambda\cdot\left(\vv{x}+\vv{y}\right)=\lambda\cdot\vv{x}+\lambda\cdot\vv{y}\\ |
\forall\left(\vv{x},\vv{y},\vv{z}\right)\in E^{2},\;\vv{x}+\left(\vv{y}+\vv{z}\right)=\left(\vv{x}+\vv{y}\right)+\vv{z} & \forall\left(\lambda,\mu,\vv{x}\right)\in\K^{2}\times E,\;(\lambda+\mu)\cdot\vv{x}=\lambda\cdot\vv{x}+\mu\cdot\vv{x}\\ | \forall\left(\vv{x},\vv{y},\vv{z}\right)\in E^{2},\;\vv{x}+\left(\vv{y}+\vv{z}\right)=\left(\vv{x}+\vv{y}\right)+\vv{z} & \forall\left(\lambda,\mu,\vv{x}\right)\in\K^{2}\times E,\;(\lambda+\mu)\cdot\vv{x}=\lambda\cdot\vv{x}+\mu\cdot\vv{x}\\ |
\exists\vv*{0}{E}\in E\;/\;\forall\vv{x}\in E,\;\vv{x}+\vv*{0}{E}=\vv*{0}{E}+\vv{x}=\vv{x} & \forall\left(\lambda,\mu,\vv{x}\right)\in\K^{2}\times E,\;\lambda\cdot\left(\mu\cdot\vv{x}\right)=(\lambda\mu)\cdot\vv{x}\\ | \exists\vv{0_E}\in E\;/\;\forall\vv{x}\in E,\;\vv{x}+\vv{0_E}=\vv{0_E}+\vv{x}=\vv{x} & \forall\left(\lambda,\mu,\vv{x}\right)\in\K^{2}\times E,\;\lambda\cdot\left(\mu\cdot\vv{x}\right)=(\lambda\mu)\cdot\vv{x}\\ |
\forall\vv{x}\in E,\;\exists!\vv{y}\in E\;/\;\vv{x}+\vv{y}=\vv{y}+\vv{x}=\vv*{0}{E} & \forall\vv{x}\in E,\;1_{\K}\cdot\vv{x}=\vv{x} | \forall\vv{x}\in E,\;\exists!\vv{y}\in E\;/\;\vv{x}+\vv{y}=\vv{y}+\vv{x}=\vv{0_E} & \forall\vv{x}\in E,\;1_{\K}\cdot\vv{x}=\vv{x} |
\end{array}$$ | \end{array}$$ |
* Les éléments de $E$ sont appelés **vecteurs** et les éléments de $\K$ des **scalaires**. | * Les éléments de $E$ sont appelés **vecteurs** et les éléments de $\K$ des **scalaires**. |
* On appelle **combinaison linaire** des vecteurs $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$ de $E$ tout vecteur de la forme $\lambda_{1}\cdot\vv*{x}{1}+\dots+\lambda_{n}\cdot\vv*{x}{n}$ où $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n}$. | * On appelle **combinaison linaire** des vecteurs $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$ de $E$ tout vecteur de la forme $\lambda_{1}\cdot\vv{x_1}+\dots+\lambda_{n}\cdot\vv{x_n}$ où $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n}$. |
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</box> | </box> |
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__**Remarques**__\\ | __**Remarques**__\\ |
* Lorsqu'il n'y a pas d'ambigüité, on note $E$ à la place de $(E,+,\cdot)$ et on ne note pas le point de la multiplication externe. | * Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on note $E$ à la place de $(E,+,\cdot)$ et on ne note pas le point de la multiplication externe. |
* Les espaces vectoriels usuels sont : $\K^{n}$, $\mathcal{M}_n(\K)$, $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$, $\mathcal{A}(I,\R)$ où $I\subset\R$, $\R^{\N}$ (suites réelles), $\K[X]$, $\K_n[X]$. | * Les espaces vectoriels usuels sont : $\K^{n}$, $\mathcal{M}_n(\K)$, $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$, $\mathcal{A}(I,\R)$ où $I\subset\R$, $\R^{\N}$ (suites réelles), $\K[X]$, $\K_n[X]$. |
* Dans tout le restant de ce chapitre, $E$ désigne un $\K$-espace vectoriel. | * Dans tout le restant de ce chapitre, $E$ désigne un $\K$-espace vectoriel. |
<box 100% red round | **Théorème : Caractérisation d'un sous-espace vectoriel**> | <box 100% red round | **Théorème : Caractérisation d'un sous-espace vectoriel**> |
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Soit $F$ un sous-ensemble non vide de $E$. Alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall(\lambda,\mu)\in\K^{2},\;\forall\left(\vv{x},\vv{y}\right)\in F^{2},\;\lambda\vv{x}+\mu\vv{y}\in F$$(on peut omettre le scalaire $\mu$ dans la caractérisation). Autrement dit, $F$ est stable par combinaisons linéaires. | Soit $F$ un sous-ensemble non vide de $E$. Alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall(\lambda,\mu)\in\K^{2},\;\forall\left(\vv{x},\vv{y}\right)\in F^{2},\;\lambda\vv{x}+\mu\vv{y}\in F$$ (on peut omettre le scalaire $\mu$ dans la caractérisation). Autrement dit, $F$ est stable par combinaisons linéaires. |
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</box> | </box> |
* $\mathcal{C}^{\infty}(I,\R)\subset\mathcal{C}^n(I,\R)\subset\mathcal{C}^1(I,\R)\subset\mathcal{C}^0(I,\R)\subset\mathcal{\mathcal{A}}(I,\R)$ | * $\mathcal{C}^{\infty}(I,\R)\subset\mathcal{C}^n(I,\R)\subset\mathcal{C}^1(I,\R)\subset\mathcal{C}^0(I,\R)\subset\mathcal{\mathcal{A}}(I,\R)$ |
* $\C_{0}[X]\subset\C_{1}[X]\subset\C_{2}[X]\subset\C_{n}[X]\subset\C[X]$ | * $\C_{0}[X]\subset\C_{1}[X]\subset\C_{2}[X]\subset\C_{n}[X]\subset\C[X]$ |
* L'ensemble des combinaisons linéaires de $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ noté $\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$. | * L'ensemble des combinaisons linéaires de $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ noté $\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$. |
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- Montrer que $F\cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$. | - Montrer que $F\cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$. |
- Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $F\cup G$ soit un sous-espace vectoriel de $E$. | - Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $F\cup G$ soit un sous-espace vectoriel de $E$. |
- Pour quelles valeurs de $a\in\R$, l'ensemble $\ds E_{a}=\left\{ \left.\begin{pmatrix}x\\ | - Pour quelles valeurs de $a\in\R$, l'ensemble $\ds E_{a}=\left\{ \left.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z \end{pmatrix}\in\R^{3}\,\right|\;3x-2y+5z=a\right\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\R^{3}$ ? |
y\\ | - Montrer que l'ensemble $\ds\left\{ \left. \begin{pmatrix}a & b & \dots & b\\ b & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & b\\ b & \dots & b & a \end{pmatrix} \right| \;(a,b)\in\R^{2}\right\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\R)$. |
z | |
\end{pmatrix}\in\R^{3}\,\right|\;3x-2y+5z=a\right\}$est-il un sous-espace vectoriel de $\R^{3}$ ? | |
* Montrer que l'ensemble $\ds\left\{ \left. \begin{pmatrix}a & b & \dots & b\\ b & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & b\\ b & \dots & b & a \end{pmatrix} \right| \;(a,b)\in\R^{2}\right\}$est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\R)$. | |
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