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math:2:ev_sev

Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

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math:2:ev_sev [2020/05/11 00:26]
Alain Guichet [Espaces et sous-espaces vectoriels]
math:2:ev_sev [2020/05/11 23:43] (Version actuelle)
Alain Guichet
Ligne 16: Ligne 16:
 \forall\left(\vv{x},​\vv{y}\right)\in E^{2},​\;​\vv{y}+\vv{x}=\vv{x}+\vv{y} & \forall\left(\lambda,​\vv{x},​\vv{y}\right)\in\K\times E^{2},​\;​\lambda\cdot\left(\vv{x}+\vv{y}\right)=\lambda\cdot\vv{x}+\lambda\cdot\vv{y}\\ \forall\left(\vv{x},​\vv{y}\right)\in E^{2},​\;​\vv{y}+\vv{x}=\vv{x}+\vv{y} & \forall\left(\lambda,​\vv{x},​\vv{y}\right)\in\K\times E^{2},​\;​\lambda\cdot\left(\vv{x}+\vv{y}\right)=\lambda\cdot\vv{x}+\lambda\cdot\vv{y}\\
 \forall\left(\vv{x},​\vv{y},​\vv{z}\right)\in E^{2},​\;​\vv{x}+\left(\vv{y}+\vv{z}\right)=\left(\vv{x}+\vv{y}\right)+\vv{z} & \forall\left(\lambda,​\mu,​\vv{x}\right)\in\K^{2}\times E,​\;​(\lambda+\mu)\cdot\vv{x}=\lambda\cdot\vv{x}+\mu\cdot\vv{x}\\ \forall\left(\vv{x},​\vv{y},​\vv{z}\right)\in E^{2},​\;​\vv{x}+\left(\vv{y}+\vv{z}\right)=\left(\vv{x}+\vv{y}\right)+\vv{z} & \forall\left(\lambda,​\mu,​\vv{x}\right)\in\K^{2}\times E,​\;​(\lambda+\mu)\cdot\vv{x}=\lambda\cdot\vv{x}+\mu\cdot\vv{x}\\
-\exists\vv*{0}{E}\in E\;/​\;​\forall\vv{x}\in E,​\;​\vv{x}+\vv*{0}{E}=\vv*{0}{E}+\vv{x}=\vv{x} & \forall\left(\lambda,​\mu,​\vv{x}\right)\in\K^{2}\times E,​\;​\lambda\cdot\left(\mu\cdot\vv{x}\right)=(\lambda\mu)\cdot\vv{x}\\ +\exists\vv{0_E}\in E\;/​\;​\forall\vv{x}\in E,​\;​\vv{x}+\vv{0_E}=\vv{0_E}+\vv{x}=\vv{x} & \forall\left(\lambda,​\mu,​\vv{x}\right)\in\K^{2}\times E,​\;​\lambda\cdot\left(\mu\cdot\vv{x}\right)=(\lambda\mu)\cdot\vv{x}\\ 
-\forall\vv{x}\in E,​\;​\exists!\vv{y}\in E\;/​\;​\vv{x}+\vv{y}=\vv{y}+\vv{x}=\vv*{0}{E} & \forall\vv{x}\in E,​\;​1_{\K}\cdot\vv{x}=\vv{x}+\forall\vv{x}\in E,​\;​\exists!\vv{y}\in E\;/​\;​\vv{x}+\vv{y}=\vv{y}+\vv{x}=\vv{0_E} & \forall\vv{x}\in E,​\;​1_{\K}\cdot\vv{x}=\vv{x}
 \end{array}$$ \end{array}$$
   * Les éléments de $E$ sont appelés **vecteurs** et les éléments de $\K$ des **scalaires**.   * Les éléments de $E$ sont appelés **vecteurs** et les éléments de $\K$ des **scalaires**.
-  * On appelle **combinaison linaire** des vecteurs $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$ de $E$ tout vecteur de la forme $\lambda_{1}\cdot\vv*{x}{1}+\dots+\lambda_{n}\cdot\vv*{x}{n}$ où $(\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n})\in\K^{n}$.+  * On appelle **combinaison linaire** des vecteurs $\left(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_n}\right)$ de $E$ tout vecteur de la forme $\lambda_{1}\cdot\vv{x_1}+\dots+\lambda_{n}\cdot\vv{x_n}$ où $(\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n})\in\K^{n}$.
  
 </​box>​ </​box>​
Ligne 26: Ligne 26:
  
 __**Remarques**__\\ __**Remarques**__\\
-  * Lorsqu'​il n'y a pas d'ambigüité, on note $E$ à la place de $(E,​+,​\cdot)$ et on ne note pas le point de la multiplication externe.+  * Lorsqu'​il n'y a pas d'ambiguïté, on note $E$ à la place de $(E,​+,​\cdot)$ et on ne note pas le point de la multiplication externe.
   * Les espaces vectoriels usuels sont : $\K^{n}$, $\mathcal{M}_n(\K)$,​ $\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$,​ $\mathcal{A}(I,​\R)$ où $I\subset\R$,​ $\R^{\N}$ (suites réelles), $\K[X]$, $\K_n[X]$.   * Les espaces vectoriels usuels sont : $\K^{n}$, $\mathcal{M}_n(\K)$,​ $\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$,​ $\mathcal{A}(I,​\R)$ où $I\subset\R$,​ $\R^{\N}$ (suites réelles), $\K[X]$, $\K_n[X]$.
   * Dans tout le restant de ce chapitre, $E$ désigne un $\K$-espace vectoriel.   * Dans tout le restant de ce chapitre, $E$ désigne un $\K$-espace vectoriel.
Ligne 40: Ligne 40:
 <box 100% red round | **Théorème : Caractérisation d'un sous-espace vectoriel**>​ <box 100% red round | **Théorème : Caractérisation d'un sous-espace vectoriel**>​
  
-Soit $F$ un sous-ensemble non vide de $E$. Alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall(\lambda,​\mu)\in\K^{2},​\;​\forall\left(\vv{x},​\vv{y}\right)\in F^{2},​\;​\lambda\vv{x}+\mu\vv{y}\in F$$(on peut omettre le scalaire $\mu$ dans la caractérisation). Autrement dit, $F$ est stable par combinaisons linéaires.+Soit $F$ un sous-ensemble non vide de $E$. Alors $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall(\lambda,​\mu)\in\K^{2},​\;​\forall\left(\vv{x},​\vv{y}\right)\in F^{2},​\;​\lambda\vv{x}+\mu\vv{y}\in F$$ (on peut omettre le scalaire $\mu$ dans la caractérisation). Autrement dit, $F$ est stable par combinaisons linéaires.
  
 </​box>​ </​box>​
Ligne 49: Ligne 49:
     * $\mathcal{C}^{\infty}(I,​\R)\subset\mathcal{C}^n(I,​\R)\subset\mathcal{C}^1(I,​\R)\subset\mathcal{C}^0(I,​\R)\subset\mathcal{\mathcal{A}}(I,​\R)$     * $\mathcal{C}^{\infty}(I,​\R)\subset\mathcal{C}^n(I,​\R)\subset\mathcal{C}^1(I,​\R)\subset\mathcal{C}^0(I,​\R)\subset\mathcal{\mathcal{A}}(I,​\R)$
     * $\C_{0}[X]\subset\C_{1}[X]\subset\C_{2}[X]\subset\C_{n}[X]\subset\C[X]$     * $\C_{0}[X]\subset\C_{1}[X]\subset\C_{2}[X]\subset\C_{n}[X]\subset\C[X]$
-  * L'​ensemble des combinaisons linéaires de $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ noté $\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$.+  * L'​ensemble des combinaisons linéaires de $\left(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_n}\right)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ noté $\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_n}\right)$.
  
  
Ligne 56: Ligne 56:
     - Montrer que $F\cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$.     - Montrer que $F\cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
     - Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $F\cup G$ soit un sous-espace vectoriel de $E$.     - Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $F\cup G$ soit un sous-espace vectoriel de $E$.
-  - Pour quelles valeurs de $a\in\R$, l'​ensemble $\ds E_{a}=\left\{ \left.\begin{pmatrix}x\\ +  - Pour quelles valeurs de $a\in\R$, l'​ensemble $\ds E_{a}=\left\{ \left.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z \end{pmatrix}\in\R^{3}\,​\right|\;​3x-2y+5z=a\right\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\R^{3}$ ? 
-y\\ +  ​Montrer que l'​ensemble $\ds\left\{ \left. \begin{pmatrix}a & b & \dots & b\\ b & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots &  & \ddots & b\\ b & \dots & b & a \end{pmatrix} \right| \;​(a,​b)\in\R^{2}\right\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\R)$.
-z +
-\end{pmatrix}\in\R^{3}\,​\right|\;​3x-2y+5z=a\right\}$est-il un sous-espace vectoriel de $\R^{3}$ ? +
-  ​Montrer que l'​ensemble $\ds\left\{ \left. \begin{pmatrix}a & b & \dots & b\\ b & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots &  & \ddots & b\\ b & \dots & b & a \end{pmatrix} \right| \;​(a,​b)\in\R^{2}\right\}$est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\R)$.+
  
  
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math/2/ev_sev.txt · Dernière modification: 2020/05/11 23:43 par Alain Guichet