Différences
Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.
Les deux révisions précédentesRévision précédenteProchaine révision | Révision précédente |
math:2:estimation_parametre_bernoulli [2016/02/21 11:36] – [Une première méthode : à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev] Alain Guichet | math:2:estimation_parametre_bernoulli [2021/05/03 00:11] (Version actuelle) – Alain Guichet |
---|
| |
| |
L'intervalle aléatoire\\ $$\ds\left[\bar{X}_{n}-\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}},\bar{X}_{n}+\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}\right]$$est appelé **intervalle de confiance** du réel $p$ au niveau de confiance $1-\alpha$ et l'intervalle réel\\ $$\ds\left[\bar{X}_{n}(\omega)-\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}},\bar{X}_{n}(\omega)+\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}\right]$$est appelé **réalisation de l'intervalle de confiance** du réel $p$ au niveau de confiance $1-\alpha$. | L'intervalle aléatoire\\ $$\ds\left[\bar{X}_{n}-\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}},\bar{X}_{n}+\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}\right]$$est appelé **intervalle aléatoire de confiance** du réel $p$ au niveau de confiance $1-\alpha$ et l'intervalle réel\\ $$\ds\left[\bar{X}_{n}(\omega)-\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}},\bar{X}_{n}(\omega)+\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}\right]$$est appelé **réalisation de l'intervalle de confiance** du réel $p$ au niveau de confiance $1-\alpha$. |
| |
| |
Or, à l'aide d'une table de valeurs de la fonction de répartition $\Phi$, on a :\\ $$\begin{array}{rcl}\ds 2\Phi\left(\sqrt{n}\frac{\varepsilon_{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\right)-1\geqslant1-\alpha & \iff & \ds \Phi\left(\sqrt{n}\frac{\varepsilon_{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\right)\geqslant1-\frac{\alpha}{2}=\Phi(t_{\alpha}) \\ & \iff & \ds\sqrt{n}\frac{\varepsilon_{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\geqslant t_{\alpha} \\ & \iff & \ds\varepsilon_{n}\geqslant t_{\alpha}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \end{array}$$ | Or, à l'aide d'une table de valeurs de la fonction de répartition $\Phi$, on a :\\ $$\begin{array}{rcl}\ds 2\Phi\left(\sqrt{n}\frac{\varepsilon_{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\right)-1\geqslant1-\alpha & \iff & \ds \Phi\left(\sqrt{n}\frac{\varepsilon_{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\right)\geqslant1-\frac{\alpha}{2}=\Phi(t_{\alpha}) \\ & \iff & \ds\sqrt{n}\frac{\varepsilon_{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\geqslant t_{\alpha} \\ & \iff & \ds\varepsilon_{n}\geqslant t_{\alpha}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \end{array}$$ |
| |
Comme $\ds \bar{X}_{n}$ est un estimateur de $p$, on considère ainsi que l'intervalle aléatoire :\\ $$\ds\left[\bar{X}_{n}-t_{\alpha}\sqrt{\frac{\bar{X}_{n}(1-\bar{X}_{n})}{n}},\bar{X}_{n}+t_{\alpha}\sqrt{\frac{\bar{X}_{n}(1-\bar{X}_{n})}{n}}\right]$$est un **intervalle de confiance** du réel $p$ au niveau de confiance $1-\alpha$ et que l'intervalle réel :\\ $$\ds\left[\bar{X}_{n}(\omega)-t_{\alpha}\sqrt{\frac{\bar{X}_{n}(\omega)(1-\bar{X}_{n}(\omega))}{n}},\bar{X}_{n}(\omega)+t_{\alpha}\sqrt{\frac{\bar{X}_{n}(\omega)(1-\bar{X}_{n}(\omega))}{n}}\right]$$est une **réalisation de l'intervalle de confiance** du réel $p$ au niveau de confiance $1-\alpha$. | Comme $\ds \bar{X}_{n}$ est un estimateur de $p$, on considère ainsi que l'intervalle aléatoire :\\ $$\ds\left[\bar{X}_{n}-t_{\alpha}\sqrt{\frac{\bar{X}_{n}(1-\bar{X}_{n})}{n}},\bar{X}_{n}+t_{\alpha}\sqrt{\frac{\bar{X}_{n}(1-\bar{X}_{n})}{n}}\right]$$est un **intervalle aléatoire de confiance** du réel $p$ au niveau de confiance $1-\alpha$ et que l'intervalle réel :\\ $$\ds\left[\bar{X}_{n}(\omega)-t_{\alpha}\sqrt{\frac{\bar{X}_{n}(\omega)(1-\bar{X}_{n}(\omega))}{n}},\bar{X}_{n}(\omega)+t_{\alpha}\sqrt{\frac{\bar{X}_{n}(\omega)(1-\bar{X}_{n}(\omega))}{n}}\right]$$est une **réalisation de l'intervalle de confiance** du réel $p$ au niveau de confiance $1-\alpha$. |
| |
**Simulation numérique : **On modifie le programme principal précédent afin de réaliser 1000 estimations différentes du même paramètre $p$ et on compte le nombre de fois que $p$ est dans l'intervalle de confiance au risque 0,05. | **Simulation numérique : **On modifie le programme principal précédent afin de réaliser 1000 estimations différentes du même paramètre $p$ et on compte le nombre de fois que $p$ est dans l'intervalle de confiance au risque 0,05. |