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| math:2:estimation_intervalle_confiance [2015/03/03 11:27] – [Estimation par intervalle de confiance de l'espérance d'une loi] Alain Guichet | math:2:estimation_intervalle_confiance [2022/03/05 20:58] (Version actuelle) – Alain Guichet |
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| ^ **[[:math:2:index#chapitre_19|Estimation > ]]** | [[:math:2:introduction_estimation|Intro]] | [[:math:2:estimation_parametre_bernoulli|Ex 1]] | [[:math:2:estimation_amplitude|Ex 2]] | [[:math:2:problematique_estimation|Problématique]] | [[:math:2:estimation_ponctuelle|Estimation ponctuelle]] | [[:math:2:estimation_intervalle_confiance|Estimation intervalle]] | | ^ **[[:math:2:index#estimation|Estimation > ]]** | [[:math:2:introduction_estimation|Intro]] | [[:math:2:estimation_parametre_bernoulli|Ex 1]] | [[:math:2:estimation_amplitude|Ex 2]] | [[:math:2:problematique_estimation|Problématique]] | [[:math:2:estimation_ponctuelle|Estimation ponctuelle]] | [[:math:2:estimation_intervalle_confiance|Estimation intervalle]] | |
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| Soit $U_{n}=\varphi_{n}(X_{1},\dots,X_{n})$ et $V_{n}=\psi_{n}(X_{1},\dots,X_{n})$ deux statistiques sur un même $n$-échantillon iid et telles que :\\ $$\ds\mathbb{P}_{\theta}(U_{n}\leqslant V_{n})=1$$pour tout $\theta\in\Theta$. Soit $\theta\in\Theta$ et $\alpha\in\left]0,1\right[$. | Soit $U_{n}=\varphi_{n}(X_{1},\dots,X_{n})$ et $V_{n}=\psi_{n}(X_{1},\dots,X_{n})$ deux statistiques sur un même $n$-échantillon iid et telles que :\\ $$\ds\mathbb{P}_{\theta}(U_{n}\leqslant V_{n})=1$$pour tout $\theta\in\Theta$. Soit $\theta\in\Theta$ et $\alpha\in\left]0,1\right[$. |
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| * On dit que l'intervalle $[U_{n},V_{n}]$ est un **intervalle de confiance** de $g(\theta)$ au **niveau de confiance** $1-\alpha$ si et seulement si :\\ $$\ds\mathbb{P}_{\theta}(U_{n}\leqslant g(\theta)\leqslant V_{n})\geqslant1-\alpha$$ | * On dit que l'intervalle $[U_{n},V_{n}]$ est un **intervalle aléatoire de confiance** de $g(\theta)$ au **niveau de confiance** $1-\alpha$ si et seulement si :\\ $$\ds\mathbb{P}_{\theta}(U_{n}\leqslant g(\theta)\leqslant V_{n})\geqslant1-\alpha$$ |
| * Le réel $\alpha$ est appelé **risque**. | * Le réel $\alpha$ est appelé **risque**. |
| * Soit $\omega\in\Omega$. L'intervalle $\left[U_{n}(\omega),V_{n}(\omega)\right]$ est une **réalisation** de cet intervalle de confiance. | * Soit $\omega\in\Omega$. L'intervalle $\left[U_{n}(\omega),V_{n}(\omega)\right]$ est une **réalisation** de cet intervalle aléatoire de confiance. |
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| </box> | </box> |
| On teste le théorème à l'aide du programme suivant : | On teste le théorème à l'aide du programme suivant : |
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| rand("seed",getdate("s")) // initialisation du hasard | <code scilab> |
| p=grand(1,1,"unf",0,1) | rand("seed",getdate("s")) // initialisation du hasard |
| n=1000 ; alpha=0.05 ; t=1.96 ; m=10000 | p=grand(1,1,"unf",0,1) |
| IBT=0 ; TLC1=0 ; TLC2=0 | n=1000 ; alpha=0.05 ; t=1.96 ; m=10000 |
| for k=1:m | IBT=0 ; TLC1=0 ; TLC2=0 |
| Xn=mean(grand(1,n,"bin",1,p)) | for k=1:m |
| if abs(Xn-p)<t/sqrt(alpha*n)/2 then IBT=IBT+1 | Xn=mean(grand(1,n,"bin",1,p)) |
| end | if abs(Xn-p)<t/sqrt(alpha*n)/2 then IBT=IBT+1 |
| if abs(Xn-p)<t*sqrt(Xn*(1-Xn)/n) then TLC1=TLC1+1 | end |
| end | if abs(Xn-p)<t*sqrt(Xn*(1-Xn)/n) then TLC1=TLC1+1 |
| if abs(Xn-p)<t/sqrt(n)/2 then TLC2=TLC2+1 | end |
| end | if abs(Xn-p)<t/sqrt(n)/2 then TLC2=TLC2+1 |
| end | end |
| disp("Proportion d''intervalles de type IBT contenant p : ") ; disp(100*IBT/m) | end |
| disp("Proportion d''intervalles de type TLC1 contenant p : ") ; disp(100*TLC1/m) | disp("Proportion d''intervalles de type IBT contenant p : ") ; disp(100*IBT/m) |
| disp("Proportion d''intervalles de type TLC2 contenant p : ") ; disp(100*TLC2/m) | disp("Proportion d''intervalles de type TLC1 contenant p : ") ; disp(100*TLC1/m) |
| disp("p = ") ; disp(p) | disp("Proportion d''intervalles de type TLC2 contenant p : ") ; disp(100*TLC2/m) |
| | disp("p = ") ; disp(p) |
| | </code> |
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| Tableau récapitulatif de résultats pour $n=1000$ et $\alpha=0.05$ (10000 répétitions) : | Tableau récapitulatif de résultats pour $n=1000$ et $\alpha=0.05$ (10000 répétitions) : |
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| ^ **[[:math:2:index#chapitre_19|Estimation > ]]** | [[:math:2:introduction_estimation|Intro]] | [[:math:2:estimation_parametre_bernoulli|Ex 1]] | [[:math:2:estimation_amplitude|Ex 2]] | [[:math:2:problematique_estimation|Problématique]] | [[:math:2:estimation_ponctuelle|Estimation ponctuelle]] | [[:math:2:estimation_intervalle_confiance|Estimation intervalle]] | | ^ **[[:math:2:index#estimation|Estimation > ]]** | [[:math:2:introduction_estimation|Intro]] | [[:math:2:estimation_parametre_bernoulli|Ex 1]] | [[:math:2:estimation_amplitude|Ex 2]] | [[:math:2:problematique_estimation|Problématique]] | [[:math:2:estimation_ponctuelle|Estimation ponctuelle]] | [[:math:2:estimation_intervalle_confiance|Estimation intervalle]] | |
