Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:esperance_variance_somme_variables [2014/12/13 11:35] – Alain Guichet
+++ math:2:esperance_variance_somme_variables [2015/12/17 10:33] – Alain Guichet
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 Soit $X_{1},\dots,X_{n}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi $\mathcal{E}(\lambda)$.
   - Pour quelles valeurs du réel $a$, la variable aléatoire $a^{X_{1}}$ admet-elle une espérance ?\\ Calculer cette espérance.
-  - Soit $a$ un tel réel réel. Justifier que la variable aléatoire $a^{X_{1}+\dots+X_{n}}$ admet une espérance et la calculer.
+  - Soit $a$ un tel réel. Justifier que la variable aléatoire $a^{X_{1}+\dots+X_{n}}$ admet une espérance et la calculer.
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-\begin{exs}
+__**Exemples**__
-. Soit X_{1},\dots,X_{n}
+  - Soit $X_{1},\dots,X_{n}$ des variables aléatoires discrètes d'un même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. On suppose qu'elles admettent toutes une variance. Soit $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})\in\R^{n}$.
-  des variables aléatoires discrètes d'un même espace probabilisé (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})
+    - Justifier que $\alpha_{1}X_{1}+\dots+\alpha_{n}X_{n}$ admet une variance et la préciser.
- . On suppose qu'elles admettent toutes une variance. Soit (\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})\in\R^{n}
+    - On pose : $U=\begin{pmatrix} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} X_{1} \\ \vdots \\ X_{n} \end{pmatrix}$, $V=\begin{pmatrix}\mathrm{Cov}(X_{i},X_{j}\end{pmatrix}_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\1\leqslant j\leqslant n}}\in\mathcal{M}_{n}(\R)$. Vérifier que : $\mathbb{V}({}^{t}UX)={}^{t}UVU$.(La matrice $V$ est appelée **matrice de variance-covariance** du vecteur aléatoire $(X_{1},\dots,X_{n})$).
- .
+   - Une urne contient $r$ boules rouges et $v$ boules vertes. On tire successivement et sans remise $n$ boules (une par une) où $n\in\llbracket1,r+v\rrbracket$. Pour tout entier $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, on note $X_{i}$ la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si le $i$-ème tirage amène une boule rouge et la valeur 0 dans le cas contraire.
+    -
+      - Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$. Déterminer la loi de $X_{i}$, son espérance et sa variance.
+      - Soit $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}$ tel que $i<j$. Déterminer la valeur de $\mathrm{Cov}(X_{i},X_{j})$.
+      - Les variables aléatoires $X_{1},\dots,X_{n}$ sont-elles indépendantes ?
+    - On note $X=X_{1}+\dots+X_{n}$.
+      - Que compte $X$ ?
+      - Déduire de ce qui précède l'espérance et la variance de $X$.
+      - Déterminer la loi de $X$.
+    - On recommence l'expérience aléatoire en ajoutant préalablement dans l'urne $b$ boules bleues. On tire successivement et sans remise entre les tirages $n$ boules dans l'urne ($n\leqslant r+v+b$). On note $R$ (resp. $V$, $B$) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges (resp. vertes, bleues) tirées.
+      - Préciser les lois de $R$, $V$, $B$.
+      - Quelle est la loi de $R+V$ ?
-(a) Justifier que \alpha_{1}X_{1}+\dots+\alpha_{n}X_{n}
-  admet une variance et la préciser.
-(b) On pose: U=\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\
+^ **[[:math:2:index#vecteurs_aleatoires | Vecteurs aléatoires > ]]** | [[:math:2:lois_vecteurs|Lois d'un vecteur]] | [[:math:2:independance_mutuelle|Indépendance mutuelle]] | [[:math:2:esperance_variance_somme_variables|Espérance et variance]] |
-\vdots\\
-\alpha_{n}
-\end{pmatrix}
- , X=\begin{pmatrix}X_{1}\\
-\vdots\\
-X_{n}
-\end{pmatrix}
- , V=\begin{pmatrix}\mathrm{Cov}(X_{i},X_{j}\end{pmatrix}_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\
-\leqslant j\leqslant n
-}
-}\in\mathcal{M}_{n}(\R)
- . Vérifier que: \mathbb{V}(\trans{U}X)=\trans{U}VU
- .(La matrice V
-  est appelée matrice de variance-covariance du vecteur aléatoire (X_{1},\dots,X_{n})
- ).
-. Une urne contient r
-  boules rouges et v
-  boules vertes. On tire successivement et sans remise n
-  boules (une par une) où n\in\llbracket1,r+v\rrbracket
- . Pour tout entier i\in\llbracket1,n\rrbracket
- , on note X_{i}
-  la variable aléatoire qui prend la valeur 1
-  si le i\up{e}
-  tirage amène une boule rouge et la valeur 0
-  dans le cas contraire.
-(a) {}
-i. Soit i\in\llbracket1,n\rrbracket
- . Déterminer la loi de X_{i}
- , son espérance et sa variance.
-ii. Soit (i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}
-  tel que i<j
- . Déterminer la valeur de \mathrm{Cov}(X_{i},X_{j})
- .
-iii. Les variables aléatoires X_{1},\dots,X_{n}
-  sont-elles indépendantes?
-(b) On note X=X_{1}+\dots+X_{n}
- .
-i. Que compte X
- ?
-ii. Déduire de ce qui précède l'espérance et la variance de X
- .
-iii. Déterminer la loi de X
- .
-(c) On recommence l'expérience aléatoire en ajoutant préalablement dans l'urne b
-  boules bleues. On tire successivement et sans remise entre les tirages n
-  boules dans l'urne (n\leqslant r+v+b
- ). On note R
-  (resp. V
- , B
- ) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges (resp. vertes, bleues) tirées.
-i. Préciser les lois de R
- , V
- , B
- .
-ii. Quelle est la loi de R+V
- ?
-\end{exs}
-^ **[[:math:2:index#chapitre_14 | Vecteurs aléatoires > ]]** | [[:math:2:lois_vecteurs|Lois d'un vecteur]] | [[:math:2:independance_mutuelle|Indépendance mutuelle]] | [[:math:2:esperance_variance_somme_variables|Espérance et variance]] |