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| math:2:esperance_variance_somme_variables [2014/12/13 11:35] – Alain Guichet | math:2:esperance_variance_somme_variables [2014/12/18 23:07] – Alain Guichet |
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| Soit $X_{1},\dots,X_{n}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi $\mathcal{E}(\lambda)$. | Soit $X_{1},\dots,X_{n}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi $\mathcal{E}(\lambda)$. |
| - Pour quelles valeurs du réel $a$, la variable aléatoire $a^{X_{1}}$ admet-elle une espérance ?\\ Calculer cette espérance. | - Pour quelles valeurs du réel $a$, la variable aléatoire $a^{X_{1}}$ admet-elle une espérance ?\\ Calculer cette espérance. |
| - Soit $a$ un tel réel réel. Justifier que la variable aléatoire $a^{X_{1}+\dots+X_{n}}$ admet une espérance et la calculer. | - Soit $a$ un tel réel. Justifier que la variable aléatoire $a^{X_{1}+\dots+X_{n}}$ admet une espérance et la calculer. |
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| \begin{exs} | __**Exemples**__ |
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| 1. Soit X_{1},\dots,X_{n} | - Soit $X_{1},\dots,X_{n}$ des variables aléatoires discrètes d'un même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. On suppose qu'elles admettent toutes une variance. Soit $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})\in\R^{n}$. |
| des variables aléatoires discrètes d'un même espace probabilisé (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) | - Justifier que $\alpha_{1}X_{1}+\dots+\alpha_{n}X_{n}$ admet une variance et la préciser. |
| . On suppose qu'elles admettent toutes une variance. Soit (\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})\in\R^{n} | - On pose : $U=\begin{pmatrix} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} X_{1} \\ \vdots \\ X_{n} \end{pmatrix}$, $V=\begin{pmatrix}\mathrm{Cov}(X_{i},X_{j}\end{pmatrix}_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\1\leqslant j\leqslant n}}\in\mathcal{M}_{n}(\R)$. Vérifier que : $\mathbb{V}({}^{t}UX)={}^{t}UVU$.(La matrice $V$ est appelée **matrice de variance-covariance** du vecteur aléatoire $(X_{1},\dots,X_{n})$). |
| . | - Une urne contient $r$ boules rouges et $v$ boules vertes. On tire successivement et sans remise $n$ boules (une par une) où $n\in\llbracket1,r+v\rrbracket$. Pour tout entier $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, on note $X_{i}$ la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si le $i$-ème tirage amène une boule rouge et la valeur 0 dans le cas contraire. |
| | - |
| (a) Justifier que \alpha_{1}X_{1}+\dots+\alpha_{n}X_{n} | - Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$. Déterminer la loi de $X_{i}$, son espérance et sa variance. |
| admet une variance et la préciser. | - Soit $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2}$ tel que $i<j$. Déterminer la valeur de $\mathrm{Cov}(X_{i},X_{j})$. |
| | - Les variables aléatoires $X_{1},\dots,X_{n}$ sont-elles indépendantes ? |
| (b) On pose: U=\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\ | - On note $X=X_{1}+\dots+X_{n}$. |
| \vdots\\ | - Que compte $X$ ? |
| \alpha_{n} | - Déduire de ce qui précède l'espérance et la variance de $X$. |
| \end{pmatrix} | - Déterminer la loi de $X$. |
| , X=\begin{pmatrix}X_{1}\\ | - On recommence l'expérience aléatoire en ajoutant préalablement dans l'urne $b$ boules bleues. On tire successivement et sans remise entre les tirages $n$ boules dans l'urne ($n\leqslant r+v+b$). On note $R$ (resp. $V$, $B$) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges (resp. vertes, bleues) tirées. |
| \vdots\\ | - Préciser les lois de $R$, $V$, $B$. |
| X_{n} | - Quelle est la loi de $R+V$ ? |
| \end{pmatrix} | |
| , V=\begin{pmatrix}\mathrm{Cov}(X_{i},X_{j}\end{pmatrix}_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ | |
| 1\leqslant j\leqslant n | |
| } | |
| }\in\mathcal{M}_{n}(\R) | |
| . Vérifier que: \mathbb{V}(\trans{U}X)=\trans{U}VU | |
| .(La matrice V | |
| est appelée matrice de variance-covariance du vecteur aléatoire (X_{1},\dots,X_{n}) | |
| ). | |
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| 2. Une urne contient r | |
| boules rouges et v | |
| boules vertes. On tire successivement et sans remise n | |
| boules (une par une) où n\in\llbracket1,r+v\rrbracket | |
| . Pour tout entier i\in\llbracket1,n\rrbracket | |
| , on note X_{i} | |
| la variable aléatoire qui prend la valeur 1 | |
| si le i\up{e} | |
| tirage amène une boule rouge et la valeur 0 | |
| dans le cas contraire. | |
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| (a) {} | |
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| i. Soit i\in\llbracket1,n\rrbracket | |
| . Déterminer la loi de X_{i} | |
| , son espérance et sa variance. | |
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| ii. Soit (i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2} | |
| tel que i<j | |
| . Déterminer la valeur de \mathrm{Cov}(X_{i},X_{j}) | |
| . | |
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| iii. Les variables aléatoires X_{1},\dots,X_{n} | |
| sont-elles indépendantes? | |
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| (b) On note X=X_{1}+\dots+X_{n} | |
| . | |
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| i. Que compte X | |
| ? | |
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| ii. Déduire de ce qui précède l'espérance et la variance de X | |
| . | |
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| iii. Déterminer la loi de X | |
| . | |
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| (c) On recommence l'expérience aléatoire en ajoutant préalablement dans l'urne b | |
| boules bleues. On tire successivement et sans remise entre les tirages n | |
| boules dans l'urne (n\leqslant r+v+b | |
| ). On note R | |
| (resp. V | |
| , B | |
| ) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges (resp. vertes, bleues) tirées. | |
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| i. Préciser les lois de R | |
| , V | |
| , B | |
| . | |
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| ii. Quelle est la loi de R+V | |
| ? | |
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| \end{exs} | |
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