Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:esperance_variance_couples [2014/11/28 00:03] – créée Alain Guichet
+++ math:2:esperance_variance_couples [2015/11/30 10:36] – Alain Guichet
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-\begin{theo}[Linéarité de l'espérance, admis]
+<box red round 100% | **Théorème : Linéarité de l'espérance** (admis)>
-Soit X
+Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité admettant une espérance. Alors, pour tout couple $(\lambda,\mu)$ de réels, la variable aléatoire $\lambda X+\mu Y$ admet une espérance et on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(\lambda X+\mu Y)=\lambda\mathbb{E}(X)+\mu\mathbb{E}(Y)$$
-  et Y
-  deux variables aléatoires à densité admettant une espérance. Alors, pour tout couple (\lambda,\mu)
-  de réels, la variable aléatoire \lambda X+\mu Y
-  admet une espérance et on a:\E(\lambda X+\mu Y)=\lambda\E(X)+\mu\E(Y)
-\end{theo}
+</box>
-\begin{theo}[Positivité et croissance de l'espérance]
-• Si X
+<box red round 100% | **Théorème : Positivité et croissance de l'espérance**>
-  est une variable aléatoire à densité admettant une espérance et telle que X(\Omega)\subset\R^{+}
-  p.s. alors \E(X)\geqslant0
- .
-• Soit X
+  * Si $X$ est une variable aléatoire à densité admettant une espérance et telle que $X(\Omega)\subset\R^{+}$ p.s. alors $\mathbb{E}(X)\geqslant0$.
-  et Y
+  * Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité admettant une espérance. Si $\mathbb{P}(X\leqslant Y)=1$ (c'est à dire que l'événement $[X\leqslant Y]$ se réalise presque sûrement) alors : $\mathbb{E}(X)\leqslant\mathbb{E}(Y)$.
-  deux variables aléatoires à densité admettant une espérance. Si \pr{X\leqslant Y}=1
-  (c'est à dire que l'événement [X\leqslant Y]
-  se réalise presque sûrement) alors \E(X)\leqslant\E(Y)
- .
-\end{theo}
+</box>
+<box red round 100% | **Théorème : Existence de l'espérance par domination**>
-\begin{theo}[Existence de l'espérance par domination]
+Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité telles que $\mathbb{P}(0\leqslant\left|X\right|\leqslant Y)=1$ (autrement dit : $\forall\omega\in\Omega,\;\left|X(\omega)\right|\leqslant Y(\omega)$ presque sûrement). Si $Y$ admet une espérance alors $X$ admet aussi une espérance et on a :\\ $$\ds \left|\mathbb{E}(X)\right|\leqslant\mathbb{E}(Y)$$
-Soit X
+</box>
-  et Y
-  deux variables aléatoires à densité telles que \pr{0\leqslant\left|X\right|\leqslant Y}=1
-  (autrement dit: \forall\omega\in\Omega,\;\left|X(\omega)\right|\leqslant Y(\omega)
-  presque sûrement). Si Y
-  admet une espérance alors X
-  admet aussi une espérance et on a: \left|\E(X)\right|\leqslant\E(Y)
- .
-\end{theo}
-\begin{theo}[Espérance du produit, admis]
+<box red round 100% | **Théorème : Espérance du produit** (admis)>
-Soit X
+Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité indépendantes et admettant une espérance. Alors la variable aléatoire $XY$ admet une espérance et on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$$
-  et Y
-  deux variables aléatoires à densité indépendantes et admettant une espérance. Alors la variables aléatoire XY
-  admet une espérance et on a:\E(XY)=\E(X)\E(Y)
-\end{theo}
+</box>
-\begin{theo}[Variance de la somme, admis]
-Soit X
+<box red round 100% | **Théorème : Variance de la somme** (admis)>
-  et Y
-  deux variables aléatoires à densité indépendantes et admettant une variance. Alors la variables aléatoire X+Y
-  admet une variance et on a:\V(X+Y)=\V(X)+\V(Y)
-\end{theo}
+Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité indépendantes et admettant une variance. Alors la variable aléatoire $X+Y$ admet une variance et on a :\\ $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$$
+</box>
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