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math:2:esperance_variance

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math:2:esperance_variance [2020/05/14 14:41]
Alain Guichet [Espérance et variance]
math:2:esperance_variance [2020/05/14 14:43] (Version actuelle)
Alain Guichet [Espérance et variance]
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 Soit $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$ un espace probabilisé. Soit $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$ un espace probabilisé.
-  * **Existence de l'​espérance par domination**. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires telles que $\mathbb{P}(0\leqslant\left|X\right|\leqslant Y)=1$ (autrement dit : $\forall\omega\in\Omega,​\;​\left|X(\omega)\right|\leqslant Y(\omega)$ presque sûrement). Si $Y$ admet une espérance alors $X$ admet aussi une espérance et on a : $$\left|\mathbb{E}(X)\right|\leqslant\mathbb{E}(Y)$$+  * **Existence de l'​espérance par domination**. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires telles que $\mathbb{P}(0\leqslant\left|X\right|\leqslant Y)=1$ (autrement dit : $\forall\omega\in\Omega,​\;​\left|X(\omega)\right|\leqslant Y(\omega)$ presque sûrement). Si $Y$ admet une espérance alors $X$ admet aussi une espérance et on a : $$\left|\mathbb{E}(X)\right|\leqslant\mathbb{E}(\left|X\right|)\leqslant\mathbb{E}(Y)$$
   * **Croissance de l'​espérance**. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires admettant une espérance et telles que $\mathbb{P}(X\leqslant Y)=1$ (autrement dit : $\forall\omega\in\Omega,​\;​ X(\omega)\leqslant Y(\omega)$ presque sûrement). Alors : $$\mathbb{E}(X)\leqslant\mathbb{E}(Y)$$   * **Croissance de l'​espérance**. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires admettant une espérance et telles que $\mathbb{P}(X\leqslant Y)=1$ (autrement dit : $\forall\omega\in\Omega,​\;​ X(\omega)\leqslant Y(\omega)$ presque sûrement). Alors : $$\mathbb{E}(X)\leqslant\mathbb{E}(Y)$$
  
math/2/esperance_variance.txt · Dernière modification: 2020/05/14 14:43 par Alain Guichet