Différences
Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.
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| math:2:esperance_variance [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1 | math:2:esperance_variance [2020/05/14 14:43] (Version actuelle) – [Espérance et variance] Alain Guichet |
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| Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé. | Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé. |
| * **Existence de l'espérance par domination**. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires telles que $\mathbb{P}(0\leqslant\left|X\right|\leqslant Y)=1$ (autrement dit : $\forall\omega\in\Omega,\;\left|X(\omega)\right|\leqslant Y(\omega)$ presque sûrement). Si $Y$ admet une espérance alors $X$ admet aussi une espérance et on a : $\left|\mathbb{E}(X)\right|\leqslant\mathbb{E}(Y)$. | * **Existence de l'espérance par domination**. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires telles que $\mathbb{P}(0\leqslant\left|X\right|\leqslant Y)=1$ (autrement dit : $\forall\omega\in\Omega,\;\left|X(\omega)\right|\leqslant Y(\omega)$ presque sûrement). Si $Y$ admet une espérance alors $X$ admet aussi une espérance et on a : $$\left|\mathbb{E}(X)\right|\leqslant\mathbb{E}(\left|X\right|)\leqslant\mathbb{E}(Y)$$ |
| * **Croissance de l'espérance**. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires admettant une espérance et telles que $\mathbb{P}(X\leqslant Y)=1$ (autrement dit : $\forall\omega\in\Omega,\; X(\omega)\leqslant Y(\omega)$ presque sûrement). Alors : $\mathbb{E}(X)\leqslant\mathbb{E}(Y)$. | * **Croissance de l'espérance**. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires admettant une espérance et telles que $\mathbb{P}(X\leqslant Y)=1$ (autrement dit : $\forall\omega\in\Omega,\; X(\omega)\leqslant Y(\omega)$ presque sûrement). Alors : $$\mathbb{E}(X)\leqslant\mathbb{E}(Y)$$ |
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