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math:2:esperance_densite

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math:2:esperance_densite [2019/06/30 11:53]
Alain Guichet [Espérance]
math:2:esperance_densite [2020/05/10 21:19] (Version actuelle)
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 <box 100% red round | **Théorème : [[:​math:​2:​demo:​theoreme_transfert_esperance_densite|Théorème de transfert, seconde partie]]**>​ <box 100% red round | **Théorème : [[:​math:​2:​demo:​theoreme_transfert_esperance_densite|Théorème de transfert, seconde partie]]**>​
  
-Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont une densité $f_{X}$ est nulle en dehors de l'​intervalle $]a,b[$ de $\R$ (avec $-\infty\leqslant a<​b\leqslant+\infty$). Soit $g$ une fonction continue sur $]a,b[$ sauf éventuellement en un nombre fini de points. Alors la variable aléatoire $g(X)$ admet une espérance si et seulement si l'​intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}$ converge absolument. De plus, en cas de convergence absolue, on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(g(X))=\int_{a}^{b}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}$$+Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont une densité $f_{X}$ est nulle en dehors de l'​intervalle $]a,b[$ de $\R$ (avec $-\infty\leqslant a<​b\leqslant+\infty$). Soit $g\colon\R\to\R$ une fonction continue sur $]a,​b[$ ​(au moins) ​sauf éventuellement en un nombre fini de points. Alors la variable aléatoire $g(X)$ admet une espérance si et seulement si l'​intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}$ converge absolument. De plus, en cas de convergence absolue, on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{b}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}$$
  
  
math/2/esperance_densite.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)