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Espérance

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont $f$ est l'une de ses densités.

On dit que $X$ admet une espérance si et seulement si l'intégrale $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{tf(t)\mathrm{d} t}$ converge absolument. Si $X$ admet une espérance alors on appelle espérance de $X$ le réel :
$$\ds\mathbb{E}(X)=m_{1}(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}{tf(t)\mathrm{d} t}$$
Si $X$ admet une espérance alors on dit que $X$ est centrée si et seulement si $\mathbb{E}(X)=0$.

Exemples

Préciser l'existence et la valeur éventuelle de l'espérance dans les cas :

$X$ donnée par $\ds f\colon t\mapsto\frac{1}{\pi(1+t^{2})}$,
$X$ donnée par $f\colon x\mapsto\begin{cases} 0 & \text{si}\; x\leqslant0\\ \ds\frac{\lambda}{\sqrt{x}} & \text{si}\; x\in\left]0,1\right[\\ \ds\frac{\lambda}{x^{2}\sqrt{x}} & \text{si}\; x\geqslant1 \end{cases}$ où $\lambda$ est un réel à préciser.

Théorème : Positivité de l'espérance

Soit $X$ une variable aléatoire à densité à valeurs positives. Si $X$ admet une espérance alors $\mathbb{E}(X)\geqslant0$

Théorème : Espérance des lois usuelles

Si $X\hookrightarrow\mathcal{U}([a,b])$ alors $X$ admet une espérance et on a :
$$\ds\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2}$$En particulier si $X\hookrightarrow\mathcal{U}([0,1])$ alors $\ds\mathbb{E}(X)=\frac{1}{2}$.
Si $X\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$ alors $X$ admet une espérance et on a :
$$\ds\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda}$$En particulier si $X\hookrightarrow\mathcal{E}(1)$ alors $\mathbb{E}(X)=1$.
Si $X\hookrightarrow\gamma(\nu)$ alors $X$ admet une espérance et on a :
$$\ds\mathbb{E}(X)=\nu$$
Si $X\hookrightarrow\mathcal{N}(m,\sigma^{2})$ alors $X$ admet une espérance et on a :
$$\ds\mathbb{E}(X)=m$$En particulier si $X\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$ alors $\mathbb{E}(X)=0$.

Théorème : Théorème de transfert, seconde partie

Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont une densité $f_{X}$ est nulle en dehors de l'intervalle $]a,b[$ de $\R$ (avec $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$). Soit $g$ une fonction continue sur $]a,b[$ sauf éventuellement en un nombre fini de points. Alors la variable aléatoire $g(X)$ admet une espérance si et seulement si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}$ converge absolument. De plus, en cas de convergence absolue, on a :
$$\ds\mathbb{E}(g(X))=\int_{a}^{b}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}$$

Exemples

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{U}([0,1])$. Justifier l'existence de $\mathbb{E}(\ln(X))$ et la calculer.
Soit $X\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$. On note $\Phi$ la fonction de répartition de $X$.
1. Justifier l'existence de $\mathbb{E}(\Phi(X))$ et la calculer.
2. Montrer que $X^{n}$ admet une espérance pour tout entier $n\in\N^{*}$. Calculer $\mathbb{E}((X^{n})$ et $\mathbb{E}((\left|X\right|^{n})$ en fonction de l'entier $n\geqslant1$.

Théorème : Linéarité de l'espérance

Soit $X$ une variable aléatoire à densité et $Y=aX+b$ avec $a\ne0$. Si $X$ admet une espérance alors $Y$ en admet une aussi et on a :
$$\ds\mathbb{E}(Y)=a\mathbb{E}(X)+b$$

Remarque

Si $X$ admet une espérance alors $X-\mathbb{E}(X)$ est centrée.

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire à densité et $f$ l'une de ses densités. Soit $k\in\N^{*}$.

On dit que $X$ admet un moment d'ordre $k$ si et seulement si $X^{k}$ admet une espérance, c'est à dire si et seulement si l'intégrale $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{t^{k}f(t)\mathrm{d} t}$ converge absolument.
Si $X$ admet un moment d'ordre $k$ alors on appelle moment d'ordre $k$ de $X$ le réel :
$$\ds m_{k}(X)=\mathbb{E}(X^{k})=\int_{-\infty}^{+\infty}{t^{k}f(t)\mathrm{d} t}$$

Théorème : Condition suffisante d'existence de moments

Si une variable aléatoire $X$ à densité admet un moment d'ordre $k\in\N^{*}$ alors elle admet un moment d'ordre $i$ pour tout $i\in\llbracket1,k\rrbracket$.

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