Les deux révisions précédentesRévision précédenteProchaine révision | Révision précédenteDernière révisionLes deux révisions suivantes |
math:2:esperance_densite [2019/06/29 11:40] – Links to math:2:demo:existence_moments_densite changed to organisation_2019_2020:public:math:2:demo:existence_moments_densite Alain Guichet | math:2:esperance_densite [2019/11/05 09:08] – Alain Guichet |
---|
| |
<html><a name="esperance_variance_loi_usuelle_densite"></a></html> | <html><a name="esperance_variance_loi_usuelle_densite"></a></html> |
<box 100% red round | **Théorème : [[organisation_2019_2020:public::math:2:demo:esperance_variance_loi_usuelle_densite|Espérance des lois usuelles]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:esperance_variance_loi_usuelle_densite|Espérance des lois usuelles]]**> |
| |
* Si $X\hookrightarrow\mathcal{U}([a,b])$ alors $X$ admet une espérance et on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2}$$En particulier si $X\hookrightarrow\mathcal{U}([0,1])$ alors $\ds\mathbb{E}(X)=\frac{1}{2}$. | * Si $X\hookrightarrow\mathcal{U}([a,b])$ alors $X$ admet une espérance et on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2}$$En particulier si $X\hookrightarrow\mathcal{U}([0,1])$ alors $\ds\mathbb{E}(X)=\frac{1}{2}$. |
<box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:theoreme_transfert_esperance_densite|Théorème de transfert, seconde partie]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:theoreme_transfert_esperance_densite|Théorème de transfert, seconde partie]]**> |
| |
Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont une densité $f_{X}$ est nulle en dehors de l'intervalle $]a,b[$ de $\R$ (avec $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$). Soit $g$ une fonction continue sur $]a,b[$ sauf éventuellement en un nombre fini de points. Alors la variable aléatoire $g(X)$ admet une espérance si et seulement si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}$ converge absolument. De plus, en cas de convergence absolue, on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(g(X))=\int_{a}^{b}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}$$ | Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont une densité $f_{X}$ est nulle en dehors de l'intervalle $]a,b[$ de $\R$ (avec $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$). Soit $g\colon\R\to\R$ une fonction continue sur $]a,b[$ (au moins) sauf éventuellement en un nombre fini de points. Alors la variable aléatoire $g(X)$ admet une espérance si et seulement si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}$ converge absolument. De plus, en cas de convergence absolue, on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{b}{g(t)f_{X}(t)\mathrm{d} t}$$ |
| |
| |
| |
<html><a name="existence_moments_densite"></a></html> | <html><a name="existence_moments_densite"></a></html> |
<box 100% red round | **Théorème : [[organisation_2019_2020:public::math:2:demo:existence_moments_densite|Condition suffisante d'existence de moments]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:existence_moments_densite|Condition suffisante d'existence de moments]]**> |
| |
Si une variable aléatoire $X$ à densité admet un moment d'ordre $k\in\N^{*}$ alors elle admet un moment d'ordre $i$ pour tout $i\in\llbracket1,k\rrbracket$. | Si une variable aléatoire $X$ à densité admet un moment d'ordre $k\in\N^{*}$ alors elle admet un moment d'ordre $i$ pour tout $i\in\llbracket1,k\rrbracket$. |