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math:2:esperance_conditionnelle

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math:2:esperance_conditionnelle [2015/09/24 15:10]
Alain Guichet
math:2:esperance_conditionnelle [2020/05/10 21:19] (Version actuelle)
Ligne 14: Ligne 14:
 <box 100% green round | **Définition**>​ <box 100% green round | **Définition**>​
  
-Soit $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$ un espace probabilisé,​ $A$ un événement de probabilité non nulle et $X$ une variable aléatoire discrète. Sous réserve d'​existence,​ l'​espérance de $X$ pour $\mathbb{P}_{A}$ est appelée **espérance conditionnelle** de $X$ sachant réalisé l'​événement $A$ et on la note :\\ $$\ds\mathbb{E}(X|A)=\sum_{x\in X(\Omega)}{x\mathbb{P}_{A}(X=x)}$$+Soit $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$ un espace probabilisé,​ $A$ un événement de probabilité non nulle et $X$ une variable aléatoire discrète. Sous réserve d'​existence,​ l'​espérance de $X$ pour $\mathbb{P}_{A}$ est appelée **espérance conditionnelle** de $X$ sachant réalisé l'​événement $A$ et on la note :\\ $$\ds\mathbb{E}(X\mid A)=\sum_{x\in X(\Omega)}{x\mathbb{P}_{A}(X=x)}$$
  
 </​box>​ </​box>​
Ligne 27: Ligne 27:
 <box 100% red round | **Théorème : Théorème de l'​espérance totale**>​ <box 100% red round | **Théorème : Théorème de l'​espérance totale**>​
  
-Soit $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$ un espace probabilisé,​ $X$ une variable aléatoire discrète et $(A_{n})_{n\in\N}$ un système complet d'​événements pour lequel on note $J$ l'​ensemble des entiers $n$ tels que $\mathbb{P}(A_{n})\ne0$. Ainsi, $(A_{n})_{n\in J}$ est un système quasi complet d'​événements. Alors, $X$ admet une espérance si et seulement si la série (double) :\\ $$\ds\sum_{(x,​n)\in X(\Omega)\times J}{\big(x\mathbb{P}_{A_{n}}(X=x)\mathbb{P}(A_{n})\big)}$$converge absolument (remarquer que $X(\Omega)\times J$ est fini ou dénombrable). Dans ce cas, l'​espérance conditionnelle $\mathbb{E}(X|A_{n})$ existe pour tout $n\in J$ et on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=\sum_{n\in J}{\mathbb{E}(X|A_{n})\mathbb{P}(A_{n})}$$+Soit $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$ un espace probabilisé,​ $X$ une variable aléatoire discrète et $(A_{n})_{n\in\N}$ un système complet d'​événements pour lequel on note $J$ l'​ensemble des entiers $n$ tels que $\mathbb{P}(A_{n})\ne0$. Ainsi, $(A_{n})_{n\in J}$ est un système quasi complet d'​événements. Alors, $X$ admet une espérance si et seulement si la série (double) :\\ $$\ds\sum_{(x,​n)\in X(\Omega)\times J}{\big(x\mathbb{P}_{A_{n}}(X=x)\mathbb{P}(A_{n})\big)}$$converge absolument (remarquer que $X(\Omega)\times J$ est fini ou dénombrable). Dans ce cas, l'​espérance conditionnelle $\mathbb{E}(X\mid A_{n})$ existe pour tout $n\in J$ et on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=\sum_{n\in J}{\mathbb{E}(X\mid A_{n})\mathbb{P}(A_{n})}$$
  
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Ligne 37: Ligne 37:
   - Soit $(A_{n})_{n\geqslant1}$ une famille d'​événements deux à deux incompatibles tels que : $\ds\forall n\in\N^{*},​\;​\mathbb{P}(A_{n})=\frac{1}{n(n+1)}$.   - Soit $(A_{n})_{n\geqslant1}$ une famille d'​événements deux à deux incompatibles tels que : $\ds\forall n\in\N^{*},​\;​\mathbb{P}(A_{n})=\frac{1}{n(n+1)}$.
     - Vérifier que $(A_{n})_{n\geqslant1}$ est une système complet d'​événements.     - Vérifier que $(A_{n})_{n\geqslant1}$ est une système complet d'​événements.
-    - Soit $X$ une variable aléatoire telle que, pour tout $n\in\N^{*}$,​ la loi conditionnelle de $X$ sachant réalisé l'​événement $A_{n}$ est la loi $\mathcal{B}(n,​p)$ avec $p\in\left]0,​1\right[$. Vérifier que $\mathbb{E}_{A_{n}}(X)$ existe pour tout $n\in\N^{*}$. La variable aléatoire $X$ admet-elle une espérance ?+    - Soit $X$ une variable aléatoire telle que, pour tout $n\in\N^{*}$,​ la loi conditionnelle de $X$ sachant réalisé l'​événement $A_{n}$ est la loi $\mathcal{B}(n,​p)$ avec $p\in\left]0,​1\right[$. Vérifier que $\mathbb{E}(X\mid ​A_{n})$ existe pour tout $n\in\N^{*}$. La variable aléatoire $X$ admet-elle une espérance ?
  
  
 ^ [[:​math:​2:​index#​chapitre_05|V.A.R.D. >]] | [[:​math:​2:​espace_probabilise|Esp prob]] | [[:​math:​2:​independance|Cond,​ indép]] | [[:​math:​2:​variables_discretes|Var aléa discr]] | [[:​math:​2:​esperance_variance|Espé,​ var]] | [[:​math:​2:​lois_discretes_usuelles|Lois usuelles]] | [[:​math:​2:​esperance_conditionnelle|Espé condi]] | ^ [[:​math:​2:​index#​chapitre_05|V.A.R.D. >]] | [[:​math:​2:​espace_probabilise|Esp prob]] | [[:​math:​2:​independance|Cond,​ indép]] | [[:​math:​2:​variables_discretes|Var aléa discr]] | [[:​math:​2:​esperance_variance|Espé,​ var]] | [[:​math:​2:​lois_discretes_usuelles|Lois usuelles]] | [[:​math:​2:​esperance_conditionnelle|Espé condi]] |
math/2/esperance_conditionnelle.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)