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| math:2:esperance_conditionnelle [2015/09/24 15:10] – Alain Guichet | math:2:esperance_conditionnelle [2019/06/30 11:37] – Alain Guichet |
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| <box 100% green round | **Définition**> | <box 100% green round | **Définition**> |
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| Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $A$ un événement de probabilité non nulle et $X$ une variable aléatoire discrète. Sous réserve d'existence, l'espérance de $X$ pour $\mathbb{P}_{A}$ est appelée **espérance conditionnelle** de $X$ sachant réalisé l'événement $A$ et on la note :\\ $$\ds\mathbb{E}(X|A)=\sum_{x\in X(\Omega)}{x\mathbb{P}_{A}(X=x)}$$ | Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $A$ un événement de probabilité non nulle et $X$ une variable aléatoire discrète. Sous réserve d'existence, l'espérance de $X$ pour $\mathbb{P}_{A}$ est appelée **espérance conditionnelle** de $X$ sachant réalisé l'événement $A$ et on la note :\\ $$\ds\mathbb{E}(X\mid A)=\sum_{x\in X(\Omega)}{x\mathbb{P}_{A}(X=x)}$$ |
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| <box 100% red round | **Théorème : Théorème de l'espérance totale**> | <box 100% red round | **Théorème : Théorème de l'espérance totale**> |
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| Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $X$ une variable aléatoire discrète et $(A_{n})_{n\in\N}$ un système complet d'événements pour lequel on note $J$ l'ensemble des entiers $n$ tels que $\mathbb{P}(A_{n})\ne0$. Ainsi, $(A_{n})_{n\in J}$ est un système quasi complet d'événements. Alors, $X$ admet une espérance si et seulement si la série (double) :\\ $$\ds\sum_{(x,n)\in X(\Omega)\times J}{\big(x\mathbb{P}_{A_{n}}(X=x)\mathbb{P}(A_{n})\big)}$$converge absolument (remarquer que $X(\Omega)\times J$ est fini ou dénombrable). Dans ce cas, l'espérance conditionnelle $\mathbb{E}(X|A_{n})$ existe pour tout $n\in J$ et on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=\sum_{n\in J}{\mathbb{E}(X|A_{n})\mathbb{P}(A_{n})}$$ | Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $X$ une variable aléatoire discrète et $(A_{n})_{n\in\N}$ un système complet d'événements pour lequel on note $J$ l'ensemble des entiers $n$ tels que $\mathbb{P}(A_{n})\ne0$. Ainsi, $(A_{n})_{n\in J}$ est un système quasi complet d'événements. Alors, $X$ admet une espérance si et seulement si la série (double) :\\ $$\ds\sum_{(x,n)\in X(\Omega)\times J}{\big(x\mathbb{P}_{A_{n}}(X=x)\mathbb{P}(A_{n})\big)}$$converge absolument (remarquer que $X(\Omega)\times J$ est fini ou dénombrable). Dans ce cas, l'espérance conditionnelle $\mathbb{E}(X\mid A_{n})$ existe pour tout $n\in J$ et on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=\sum_{n\in J}{\mathbb{E}(X\mid A_{n})\mathbb{P}(A_{n})}$$ |
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| - Soit $(A_{n})_{n\geqslant1}$ une famille d'événements deux à deux incompatibles tels que : $\ds\forall n\in\N^{*},\;\mathbb{P}(A_{n})=\frac{1}{n(n+1)}$. | - Soit $(A_{n})_{n\geqslant1}$ une famille d'événements deux à deux incompatibles tels que : $\ds\forall n\in\N^{*},\;\mathbb{P}(A_{n})=\frac{1}{n(n+1)}$. |
| - Vérifier que $(A_{n})_{n\geqslant1}$ est une système complet d'événements. | - Vérifier que $(A_{n})_{n\geqslant1}$ est une système complet d'événements. |
| - Soit $X$ une variable aléatoire telle que, pour tout $n\in\N^{*}$, la loi conditionnelle de $X$ sachant réalisé l'événement $A_{n}$ est la loi $\mathcal{B}(n,p)$ avec $p\in\left]0,1\right[$. Vérifier que $\mathbb{E}_{A_{n}}(X)$ existe pour tout $n\in\N^{*}$. La variable aléatoire $X$ admet-elle une espérance ? | - Soit $X$ une variable aléatoire telle que, pour tout $n\in\N^{*}$, la loi conditionnelle de $X$ sachant réalisé l'événement $A_{n}$ est la loi $\mathcal{B}(n,p)$ avec $p\in\left]0,1\right[$. Vérifier que $\mathbb{E}(X\mid A_{n})$ existe pour tout $n\in\N^{*}$. La variable aléatoire $X$ admet-elle une espérance ? |
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| ^ [[:math:2:index#chapitre_05|V.A.R.D. >]] | [[:math:2:espace_probabilise|Esp prob]] | [[:math:2:independance|Cond, indép]] | [[:math:2:variables_discretes|Var aléa discr]] | [[:math:2:esperance_variance|Espé, var]] | [[:math:2:lois_discretes_usuelles|Lois usuelles]] | [[:math:2:esperance_conditionnelle|Espé condi]] | | ^ [[:math:2:index#chapitre_05|V.A.R.D. >]] | [[:math:2:espace_probabilise|Esp prob]] | [[:math:2:independance|Cond, indép]] | [[:math:2:variables_discretes|Var aléa discr]] | [[:math:2:esperance_variance|Espé, var]] | [[:math:2:lois_discretes_usuelles|Lois usuelles]] | [[:math:2:esperance_conditionnelle|Espé condi]] | |
