Différences
Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.
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| math:2:esperance_conditionnelle [2015/09/16 15:33] – [Espérance conditionnelle] Alain Guichet | math:2:esperance_conditionnelle [2015/09/24 15:10] – Alain Guichet |
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| <box 100% red round | **Théorème : Théorème de l'espérance totale**> | <box 100% red round | **Théorème : Théorème de l'espérance totale**> |
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| Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $X$ une variable aléatoire discrète et $(A_{n})_{n\in\N}$ un système complet d'événements pour lequel on note $J$ l'ensemble des entiers $n$ tels que $\mathbb{P}(A_{n})\ne0$. Ainsi, $(A_{n})_{n\in J}$ est un système quasi complet d'événements. Alors, $X$ admet une espérance si et seulement si la série (double) :\\ $$\ds\sum_{(x,n)\in X(\Omega)\times\N}{\big(x\mathbb{P}_{A_{n}}(X=x)\mathbb{P}(A_{n})\big)}$$converge absolument (remarquer que $X(\Omega)\times J$ est fini ou dénombrable). Dans ce cas, l'espérance conditionnelle $\mathbb{E}(X|A_{n})$ existe pour tout $n\in J$ et on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=\sum_{n\in J}{\mathbb{E}(X|A_{n})\mathbb{P}(A_{n})}$$ | Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $X$ une variable aléatoire discrète et $(A_{n})_{n\in\N}$ un système complet d'événements pour lequel on note $J$ l'ensemble des entiers $n$ tels que $\mathbb{P}(A_{n})\ne0$. Ainsi, $(A_{n})_{n\in J}$ est un système quasi complet d'événements. Alors, $X$ admet une espérance si et seulement si la série (double) :\\ $$\ds\sum_{(x,n)\in X(\Omega)\times J}{\big(x\mathbb{P}_{A_{n}}(X=x)\mathbb{P}(A_{n})\big)}$$converge absolument (remarquer que $X(\Omega)\times J$ est fini ou dénombrable). Dans ce cas, l'espérance conditionnelle $\mathbb{E}(X|A_{n})$ existe pour tout $n\in J$ et on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=\sum_{n\in J}{\mathbb{E}(X|A_{n})\mathbb{P}(A_{n})}$$ |
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