Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:esperance_conditionnelle [2014/10/01 23:26] – Alain Guichet
+++ math:2:esperance_conditionnelle [2015/09/24 15:10] – Alain Guichet
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 <box 100% red round | **Théorème : Théorème de l'espérance totale**>
-Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $X$ une variable aléatoire discrète et $(A_{n})_{n\in\N}$ un système complet d'événements pour lequel on note $J$ l'ensemble des entiers $n$ tels que $\mathbb{P}(A_{n})\ne0$. Ainsi, $(A_{n})_{n\in J}$ est un système quasi complet d'événements. Alors, $X$ admet une espérance si et seulement si la série (double) :\\ $$\ds\sum_{(x,n)\in X(\Omega)\times\N}{\big(x\mathbb{P}_{A_{n}}(X=x)\mathbb{P}(A_{n})\big)}$$converge absolument (remarquer que $X(\Omega)\times J$ est fini ou dénombrable). Dans ce cas, l'espérance conditionnelle $\mathbb{E}(X|A_{n})$ existe pour tout $n\in J$ et on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=\sum_{n\in J}{\mathbb{E}(X|A_{n})\mathbb{P}(A_{n})}$$
+Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $X$ une variable aléatoire discrète et $(A_{n})_{n\in\N}$ un système complet d'événements pour lequel on note $J$ l'ensemble des entiers $n$ tels que $\mathbb{P}(A_{n})\ne0$. Ainsi, $(A_{n})_{n\in J}$ est un système quasi complet d'événements. Alors, $X$ admet une espérance si et seulement si la série (double) :\\ $$\ds\sum_{(x,n)\in X(\Omega)\times J}{\big(x\mathbb{P}_{A_{n}}(X=x)\mathbb{P}(A_{n})\big)}$$converge absolument (remarquer que $X(\Omega)\times J$ est fini ou dénombrable). Dans ce cas, l'espérance conditionnelle $\mathbb{E}(X|A_{n})$ existe pour tout $n\in J$ et on a :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=\sum_{n\in J}{\mathbb{E}(X|A_{n})\mathbb{P}(A_{n})}$$
 </box>
-__*Exemples**__
+__**Exemples**__
   - Dans les deux exemples ci-dessus, calculer $\mathbb{E}(X)$ et $\mathbb{E}(S)$ s'ils existent.