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math:2:espace_probabilise

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math:2:espace_probabilise [2020/05/14 00:33]
Alain Guichet
math:2:espace_probabilise [2020/05/14 00:33] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 Soit $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$ un espace probabilisé. Soit $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$ un espace probabilisé.
   * Si $(A_{n})_{n\in\N}$ est une suite croissante (resp. décroissante) d'​éléments de $\mathcal{A}$ alors la suite $\left(\mathbb{P}(A_{n})\right)_{n\in\N}$ converge et :\\ $$\ds\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}(A_{n}})=\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=0}^{+\infty}{A_{k}}\right)\qquad\left(\text{resp. }\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}(A_{n})}=\mathbb{P}(\bigcap_{k=0}^{+\infty}{A_{k})}\right)$$   * Si $(A_{n})_{n\in\N}$ est une suite croissante (resp. décroissante) d'​éléments de $\mathcal{A}$ alors la suite $\left(\mathbb{P}(A_{n})\right)_{n\in\N}$ converge et :\\ $$\ds\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}(A_{n}})=\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=0}^{+\infty}{A_{k}}\right)\qquad\left(\text{resp. }\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}(A_{n})}=\mathbb{P}(\bigcap_{k=0}^{+\infty}{A_{k})}\right)$$
-  * Si $(A_{n})_{n\in\N}$ est une suite quelconque d'​éléments de $\mathcal{A}$ alors :\\ $$\ds\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=0}^{+\infty}{A_{k}}\right)=\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=0}^{n}{A_{k}}}\right)}$$ $$\ds\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=0}^{+\infty}{A_{k}}\right)=\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=0}^{n}{A_{k}}\right)}$$+  * Si $(A_{n})_{n\in\N}$ est une suite quelconque d'​éléments de $\mathcal{A}$ alors :\\ $$\ds\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=0}^{+\infty}{A_{k}}\right)=\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=0}^{n}{A_{k}}\right)}$$ $$\ds\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=0}^{+\infty}{A_{k}}\right)=\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=0}^{n}{A_{k}}\right)}$$
  
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math/2/espace_probabilise.txt · Dernière modification: 2020/05/14 00:33 par Alain Guichet