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math:2:endomorphisme_symetrique

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math:2:endomorphisme_symetrique [2020/05/10 21:19]
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math:2:endomorphisme_symetrique [2020/06/22 10:50] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 __**Exemple**__ __**Exemple**__
  
-On considère l'​espace vectoriel $\R^{3}$ muni de son produit scalaire canonique. Soit $\mathcal{B}=(\vv*{e}{1},\vv*{e}{2},\vv*{e}{3})$ sa base canonique. Soit $u$ l'​endomorphisme de $\R^{3}$ dont la matrice dans la base $\mathcal{B}$ est :\\ $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$Montrer que $u$ est symétrique.+On considère l'​espace vectoriel $\R^{3}$ muni de son produit scalaire canonique. Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\vv{e_2},\vv{e_3})$ sa base canonique. Soit $u$ l'​endomorphisme de $\R^{3}$ dont la matrice dans la base $\mathcal{B}$ est : $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$ Montrer que $u$ est symétrique.
  
  
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 <box 100% red round | **Théorème : [[.:​demo:​caracterisation_base_endomorphisme_symetrique|Caractérisation dans une base]]**>​ <box 100% red round | **Théorème : [[.:​demo:​caracterisation_base_endomorphisme_symetrique|Caractérisation dans une base]]**>​
  
-Soit $\mathcal{B}=(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{n})$ une base de $E$. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Alors, $u$ est symétrique si et seulement si :\\ $$\ds\forall(i,​j)\in\llbracket1,​n\rrbracket^{2},​\;​\left\langle u(\vv*{e}{i}),\vv*{e}{j}\right\rangle =\left\langle \vv*{e}{i},u(\vv*{e}{j})\right\rangle$$+Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},​\dots,​\vv{e_n})$ une base de $E$. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Alors, $u$ est symétrique si et seulement si : $$\ds\forall(i,​j)\in\llbracket1,​n\rrbracket^{2},​\;​\left\langle u(\vv{e_i}),\vv{ej}\right\rangle =\left\langle \vv{e_i},u(\vv{e_j})\right\rangle$$
  
 </​box>​ </​box>​
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 __**Remarque**__ __**Remarque**__
  
-Dans le cas d'une base non orthonormale,​ un endomorphisme symétrique peut être représenté par une matrice non symétrique. Par exemple, dans $\R^{3}$ muni de son produit scalaire canonique, on considère l'​endomorphisme $u$ de matrice :\\ $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$dans la base canonique $\mathcal{B}$ (qui est orthonormale). D'​après le théorème précédent,​ $u$ est symétrique. Soit maintenant $\mathcal{B}'​=\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},​\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},​\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$Alors,​ la matrice de $u$ dans $\mathcal{B}'​$ est :\\ $$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$qui n'est pas symétrique.+Dans le cas d'une base non orthonormale,​ un endomorphisme symétrique peut être représenté par une matrice non symétrique. Par exemple, dans $\R^{3}$ muni de son produit scalaire canonique, on considère l'​endomorphisme $u$ de matrice : $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ (qui est orthonormale). D'​après le théorème précédent,​ $u$ est symétrique. Soit maintenant $\mathcal{B}'​=\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},​\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},​\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$Alors,​ la matrice de $u$ dans $\mathcal{B}'​$ est : $$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ qui n'est pas symétrique.
  
  
math/2/endomorphisme_symetrique.txt · Dernière modification: 2020/06/22 10:50 par Alain Guichet