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math:2:derivees_partielles

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math:2:derivees_partielles [2020/06/22 00:06] (Version actuelle)
Alain Guichet
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   * Soit $i\in\llbracket1,​n\rrbracket$. On dit que $f$ admet une **dérivée partielle d'​ordre 1 par rapport à la** $\boldsymbol{i}$**-ème variable au point** $\boldsymbol{A}$ si et seulement si la fonction $t\mapsto f(a_{1},​\dots,​a_{i-1},​t,​a_{i+1},​\dots,​a_{n})$ est dérivable en $a_{i}$.   * Soit $i\in\llbracket1,​n\rrbracket$. On dit que $f$ admet une **dérivée partielle d'​ordre 1 par rapport à la** $\boldsymbol{i}$**-ème variable au point** $\boldsymbol{A}$ si et seulement si la fonction $t\mapsto f(a_{1},​\dots,​a_{i-1},​t,​a_{i+1},​\dots,​a_{n})$ est dérivable en $a_{i}$.
-  * Diverses notations sont alors possibles :\\ $$\begin{array}{rcl} \partial_{i}(f)(a_{1},​\dots,​a_{n}) &​ = & \ds\lim_{t\to a_{i}}{\frac{f(a_{1},​\dots,​a_{i-1},​t,​a_{i+1},​\dots,​a_{n})-f(a_{1},​\dots,​a_{n})}{t-a_{i}}} \\ & = & \ds\lim_{h\to0}{\frac{f(a_{1},​\dots,​a_{i-1},​a_{i}+h,​a_{i+1},​\dots,​a_{n})-f(a_{1},​\dots,​a_{n})}{h}} \\ \partial_{i}(f)(A) &​ = & \ds\lim_{t\to0}{\frac{f(A+tI_{i})-f(A)}{t}} \end{array}$$+  * Diverses notations sont alors possibles : $$\begin{array}{rcl} \partial_{i}(f)(a_{1},​\dots,​a_{n}) &​ = & \ds\lim_{t\to a_{i}}{\frac{f(a_{1},​\dots,​a_{i-1},​t,​a_{i+1},​\dots,​a_{n})-f(a_{1},​\dots,​a_{n})}{t-a_{i}}} \\ & = & \ds\lim_{h\to0}{\frac{f(a_{1},​\dots,​a_{i-1},​a_{i}+h,​a_{i+1},​\dots,​a_{n})-f(a_{1},​\dots,​a_{n})}{h}} \\ \partial_{i}(f)(A) &​ = & \ds\lim_{t\to0}{\frac{f(A+tI_{i})-f(A)}{t}} \end{array}$$
    
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 <box green round 100% | **Définition**>​ <box green round 100% | **Définition**>​
  
-Lorsque $f$ admet une dérivée partielle par rapport à toutes les variables au point $A$, on appelle **gradient** de $f$ au point $A$ le vecteur de $\R^{n}$ :\\ $$\nabla f(A)=\begin{pmatrix}\partial _1(f)(A) \\ \vdots \\ \partial _n(f)(A) \end{pmatrix}$$(le symbole $\nabla$ se prononce « nabla »).+Lorsque $f$ admet une dérivée partielle par rapport à toutes les variables au point $A$, on appelle **gradient** de $f$ au point $A$ le vecteur de $\R^{n}$ : $$\nabla f(A)=\begin{pmatrix}\partial _1(f)(A) \\ \vdots \\ \partial _n(f)(A) \end{pmatrix}$$ (le symbole $\nabla$ se prononce « nabla »).
  
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Ligne 93: Ligne 93:
  
 Soit $(\lambda,​\mu)\in\R^{2}$ et $\varphi$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ qui contient $f(\R^{n})$ qui est dérivable en $f(A)$. Soit $(\lambda,​\mu)\in\R^{2}$ et $\varphi$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ qui contient $f(\R^{n})$ qui est dérivable en $f(A)$.
-  * Si $f$ et $g$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ alors $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\ds\frac{f}{g}$ (dans le cas où $g(A)\neq0$) et $\varphi\circ f$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ et on a :\\ $$\ds\partial_{i}(\lambda f+\mu g)(A)=\lambda\partial_{i}(f)(A)+\mu\partial_{i}(g)(A)$$$$\ds\partial_{i}(f\times g)(A)=\partial_{i}(f)(A)\times g(A)+f(A)\times\partial_{i}(g)(A)$$$$\ds\partial_{i}\left(\frac{f}{g}\right)(A)=\frac{\partial_{i}(f)(A)\times g(A)-f(A)\times\partial_{i}(g)(A)}{g(A)^{2}}$$$$\ds\partial_{i}(\varphi\circ f)(A)=\partial_{i}(f)(A)\times\varphi'​(f(A))$$ +  * Si $f$ et $g$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ alors $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\ds\frac{f}{g}$ (dans le cas où $g(A)\neq0$) et $\varphi\circ f$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ et on a : $$\ds\partial_{i}(\lambda f+\mu g)(A)=\lambda\partial_{i}(f)(A)+\mu\partial_{i}(g)(A)$$ $$\ds\partial_{i}(f\times g)(A)=\partial_{i}(f)(A)\times g(A)+f(A)\times\partial_{i}(g)(A)$$ $$\ds\partial_{i}\left(\frac{f}{g}\right)(A)=\frac{\partial_{i}(f)(A)\times g(A)-f(A)\times\partial_{i}(g)(A)}{g(A)^{2}}$$ $$\ds\partial_{i}(\varphi\circ f)(A)=\partial_{i}(f)(A)\times\varphi'​(f(A))$$ 
-  * Idem avec le gradient au point $A$ avec les relations suivantes (on rappelle que, le gradient étant un vecteur, l'​opération « . » désigne la multiplication externe à gauche des vecteurs par un réel) :\\ $$\ds \nabla(\lambda f+\mu g)(A)=\lambda\cdot\nabla f(A)+\mu\cdot\nabla g(A)$$$$\ds\nabla(f\times g)(A)=g(A)\cdot\nabla f(A)+f(A)\cdot\nabla g(A)$$$$\ds\nabla\left(\frac{f}{g}\right)(A)=\frac{1}{g(A)^{2}}\cdot\left[g(A)\cdot\nabla f(A)-f(A)\cdot\nabla g(A)\right]$$$$\ds\nabla(\varphi\circ f)(A)=\varphi'​(f(A))\cdot\nabla f(A)$$+  * Idem avec le gradient au point $A$ avec les relations suivantes (on rappelle que, le gradient étant un vecteur, l'​opération « . » désigne la multiplication externe à gauche des vecteurs par un réel) : $$\ds \nabla(\lambda f+\mu g)(A)=\lambda\cdot\nabla f(A)+\mu\cdot\nabla g(A)$$ $$\ds\nabla(f\times g)(A)=g(A)\cdot\nabla f(A)+f(A)\cdot\nabla g(A)$$ $$\ds\nabla\left(\frac{f}{g}\right)(A)=\frac{1}{g(A)^{2}}\cdot\left[g(A)\cdot\nabla f(A)-f(A)\cdot\nabla g(A)\right]$$ $$\ds\nabla(\varphi\circ f)(A)=\varphi'​(f(A))\cdot\nabla f(A)$$
  
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Ligne 104: Ligne 104:
 <box green round 100% | **Définition**>​ <box green round 100% | **Définition**>​
  
-On suppose que $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la $i$-ème variable en tout point de $\R^{n}$. On appelle **fonction dérivée partielle** de $f$ sur $\R^{n}$ par rapport à la $i$-ème variable la fonction :\\ $$\begin{array}{llllc} \partial_{i}(f) & \colon & \R^n & \to & \R \\  &  & A & \mapsto & \partial_{i}(f)(A) \end{array}$$+On suppose que $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la $i$-ème variable en tout point de $\R^{n}$. On appelle **fonction dérivée partielle** de $f$ sur $\R^{n}$ par rapport à la $i$-ème variable la fonction : $$\begin{array}{llllc} \partial_{i}(f) & \colon & \R^n & \to & \R \\  &  & A & \mapsto & \partial_{i}(f)(A) \end{array}$$
  
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Ligne 111: Ligne 111:
 <box red round 100% | **Théorème : Opération sur les fonctions dérivées partielles**>​ <box red round 100% | **Théorème : Opération sur les fonctions dérivées partielles**>​
  
-  * Soit $(\lambda,​\mu)\in\R^{2}$ et $\varphi$ une fonction définie, continue et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ qui contient $f(\R^{n})$. Soit $i\in\llbracket1,​n\rrbracket$. Si $f$ et $g$ admettent une fonction dérivée partielle par rapport la $i$-ème variable sur $\R^{n}$ alors $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\dfrac{f}{g}$ (dans le cas où $g$ ne s'​annule pas sur $\R^{n}$) et $\varphi\circ f$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable sur $\R^{n}$ et on a :\\ $$\ds\partial_{i}(\lambda f+\mu g)=\lambda\partial_{i}(f)+\mu\partial_{i}(g)$$$$\ds\partial_{i}(f\times g)=\partial_{i}(f)\times g+f\times\partial_{i}(g)$$$$\ds\partial_{i}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{\partial_{i}(f)\times g-f\times\partial_{i}(g)}{g^{2}}$$$$\ds\partial_{i}(\varphi\circ f)=\partial_{i}(f)\times\varphi'​\circ f$$+  * Soit $(\lambda,​\mu)\in\R^{2}$ et $\varphi$ une fonction définie, continue et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ qui contient $f(\R^{n})$. Soit $i\in\llbracket1,​n\rrbracket$. Si $f$ et $g$ admettent une fonction dérivée partielle par rapport la $i$-ème variable sur $\R^{n}$ alors $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\dfrac{f}{g}$ (dans le cas où $g$ ne s'​annule pas sur $\R^{n}$) et $\varphi\circ f$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable sur $\R^{n}$ et on a : $$\ds\partial_{i}(\lambda f+\mu g)=\lambda\partial_{i}(f)+\mu\partial_{i}(g)$$ $$\ds\partial_{i}(f\times g)=\partial_{i}(f)\times g+f\times\partial_{i}(g)$$ $$\ds\partial_{i}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{\partial_{i}(f)\times g-f\times\partial_{i}(g)}{g^{2}}$$ $$\ds\partial_{i}(\varphi\circ f)=\partial_{i}(f)\times\varphi'​\circ f$$
   * Toute fonction polynôme admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{n}$.   * Toute fonction polynôme admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{n}$.
  
math/2/derivees_partielles.txt · Dernière modification: 2020/06/22 00:06 par Alain Guichet