math:2:derivees_partielles
Différences
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math:2:derivees_partielles [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1 | math:2:derivees_partielles [2020/06/22 00:06] (Version actuelle) – Alain Guichet | ||
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Ligne 14: | Ligne 14: | ||
* Soit $i\in\llbracket1, | * Soit $i\in\llbracket1, | ||
- | * Diverses notations sont alors possibles :\\ $$\begin{array}{rcl} \partial_{i}(f)(a_{1}, | + | * Diverses notations sont alors possibles : $$\begin{array}{rcl} \partial_{i}(f)(a_{1}, |
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Ligne 69: | Ligne 69: | ||
<box green round 100% | **Définition**> | <box green round 100% | **Définition**> | ||
- | Lorsque $f$ admet une dérivée partielle par rapport à toutes les variables au point $A$, on appelle **gradient** de $f$ au point $A$ le vecteur de $\R^{n}$ :\\ $$\nabla f(A)=\begin{pmatrix}\partial _1(f)(A) \\ \vdots \\ \partial _n(f)(A) \end{pmatrix}$$(le symbole $\nabla$ se prononce « nabla »). | + | Lorsque $f$ admet une dérivée partielle par rapport à toutes les variables au point $A$, on appelle **gradient** de $f$ au point $A$ le vecteur de $\R^{n}$ : $$\nabla f(A)=\begin{pmatrix}\partial _1(f)(A) \\ \vdots \\ \partial _n(f)(A) \end{pmatrix}$$ (le symbole $\nabla$ se prononce « nabla »). |
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Ligne 93: | Ligne 93: | ||
Soit $(\lambda, | Soit $(\lambda, | ||
- | * Si $f$ et $g$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ alors $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\ds\frac{f}{g}$ (dans le cas où $g(A)\neq0$) et $\varphi\circ f$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ et on a :\\ $$\ds\partial_{i}(\lambda f+\mu g)(A)=\lambda\partial_{i}(f)(A)+\mu\partial_{i}(g)(A)$$$$\ds\partial_{i}(f\times g)(A)=\partial_{i}(f)(A)\times g(A)+f(A)\times\partial_{i}(g)(A)$$$$\ds\partial_{i}\left(\frac{f}{g}\right)(A)=\frac{\partial_{i}(f)(A)\times g(A)-f(A)\times\partial_{i}(g)(A)}{g(A)^{2}}$$$$\ds\partial_{i}(\varphi\circ f)(A)=\partial_{i}(f)(A)\times\varphi' | + | * Si $f$ et $g$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ alors $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\ds\frac{f}{g}$ (dans le cas où $g(A)\neq0$) et $\varphi\circ f$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ et on a : $$\ds\partial_{i}(\lambda f+\mu g)(A)=\lambda\partial_{i}(f)(A)+\mu\partial_{i}(g)(A)$$ $$\ds\partial_{i}(f\times g)(A)=\partial_{i}(f)(A)\times g(A)+f(A)\times\partial_{i}(g)(A)$$ $$\ds\partial_{i}\left(\frac{f}{g}\right)(A)=\frac{\partial_{i}(f)(A)\times g(A)-f(A)\times\partial_{i}(g)(A)}{g(A)^{2}}$$ $$\ds\partial_{i}(\varphi\circ f)(A)=\partial_{i}(f)(A)\times\varphi' |
- | * Idem avec le gradient au point $A$ avec les relations suivantes (on rappelle que, le gradient étant un vecteur, l' | + | * Idem avec le gradient au point $A$ avec les relations suivantes (on rappelle que, le gradient étant un vecteur, l' |
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Ligne 104: | Ligne 104: | ||
<box green round 100% | **Définition**> | <box green round 100% | **Définition**> | ||
- | On suppose que $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la $i$-ème variable en tout point de $\R^{n}$. On appelle **fonction dérivée partielle** de $f$ sur $\R^{n}$ par rapport à la $i$-ème variable la fonction :\\ $$\begin{array}{llllc} \partial_{i}(f) & \colon & \R^n & \to & \R \\ & & A & \mapsto & \partial_{i}(f)(A) \end{array}$$ | + | On suppose que $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la $i$-ème variable en tout point de $\R^{n}$. On appelle **fonction dérivée partielle** de $f$ sur $\R^{n}$ par rapport à la $i$-ème variable la fonction : $$\begin{array}{llllc} \partial_{i}(f) & \colon & \R^n & \to & \R \\ & & A & \mapsto & \partial_{i}(f)(A) \end{array}$$ |
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Ligne 111: | Ligne 111: | ||
<box red round 100% | **Théorème : Opération sur les fonctions dérivées partielles**> | <box red round 100% | **Théorème : Opération sur les fonctions dérivées partielles**> | ||
- | * Soit $(\lambda, | + | * Soit $(\lambda, |
* Toute fonction polynôme admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{n}$. | * Toute fonction polynôme admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{n}$. | ||
math/2/derivees_partielles.txt · Dernière modification : 2020/06/22 00:06 de Alain Guichet