Table des matières
Dérivées partielles d'ordre 1
Dans ce paragraphe et les suivants, toutes les fonctions seront supposées définies et continues sur $\R^{n}$.
Dérivées partielles en un point
Définition
- Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$. On dit que $f$ admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à la $\boldsymbol{i}$-ème variable au point $\boldsymbol{A}$ si et seulement si la fonction $t\mapsto f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})$ est dérivable en $a_{i}$.
- Diverses notations sont alors possibles : $$\begin{array}{rcl} \partial_{i}(f)(a_{1},\dots,a_{n}) & = & \ds\lim_{t\to a_{i}}{\frac{f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})-f(a_{1},\dots,a_{n})}{t-a_{i}}} \\ & = & \ds\lim_{h\to0}{\frac{f(a_{1},\dots,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots,a_{n})-f(a_{1},\dots,a_{n})}{h}} \\ \partial_{i}(f)(A) & = & \ds\lim_{t\to0}{\frac{f(A+tI_{i})-f(A)}{t}} \end{array}$$
Remarque : Interprétation graphique
Lorsqu'il existe, le réel $\partial_{i}(f)(A)$ est la pente de la tangente en $A$ du chemin sur la surface représentative de $f$ dans la direction de l'axe de coordonné numéro $i$. Géométriquement, on découpe la surface « verticalement », en passant par $A$ et parallèlement à « l'axe » $x_{i}=1$ (l'axe est en fait un hyperplan affine).
function z=f(x,y) z=1+2/(1+x^2+2*y^2) endfunction xmin=-2 ; xmax=2 ; xpas=0.05 ; ymin=-2 ; ymax=2 ; ypas=0.05 plot3d([xmin,xmax],[ymin,ymax],[0,0;0,0]) // plan de coordonnées plot2d([xmin-0.5,xmax+0.5],[0,0]) // axe (Ox) plot2d([0,0],[ymin-0.5,ymax+0.5]) // axe (Oy) param3d([0,0],[0,0],[-0.5,f(0,0)+0.5]) // axe (Oz) x=[xmin:xpas:xmax] ; y=[ymin:ypas:ymax] ; z=feval(x,y,f) ; plot3d(x,y,z) //surface de f A=[0.8,-0.5] ; zA=f(A(1),A(2)) param3d([A(1),A(1)],[A(2),A(2)],[0,zA]) // point A dans le plan de départ et sur la surface contour(x,y,z,[zA,zA],flag=[1,2,4]) // ligne de niveau k=f(A) u=[1,0] ; h=xpas/10 ; t=[xmin-A(1):h:xmax-A(1)] ; Cx=zeros(t) ; Cy=zeros(t) ; Cz=zeros(t) for k=1:length(t) Cx(k)=A(1)+t(k)*u(1) ; Cy(k)=A(2)+t(k)*u(2) ; Cz(k)=f(Cx(k),Cy(k)) end param3d(Cx,Cy,Cz) // chemin passant par A dans la direction de (Ox) d1fA=(f(A(1)+h,A(2))-zA)/h param3d([A(1),A(1)+1],[A(2),A(2)],[zA,zA+1*d1fA]) // tangente selon (Ox) u=[0,1] ; h=ypas/10 ; t=[ymin-A(2):h:ymax-A(2)] ; Cx=zeros(t) ; Cy=zeros(t) ; Cz=zeros(t) for k=1:length(t) Cx(k)=A(1)+t(k)*u(1) ; Cy(k)=A(2)+t(k)*u(2) ; Cz(k)=f(Cx(k),Cy(k)) end param3d(Cx,Cy,Cz) // chemin passant par A dans la direction de (Oy) d2fA=(f(A(1),A(2)+h)-f(A(1),A(2)))/h param3d([A(1),A(1)],[A(2),A(2)+1],[zA,zA+1*d2fA]) // tangente selon (Oy) plot2d([A(1),A(1)+d1fA],[A(2),A(2)+d2fA]) // gradient depuis le point A
Définition
Lorsque $f$ admet une dérivée partielle par rapport à toutes les variables au point $A$, on appelle gradient de $f$ au point $A$ le vecteur de $\R^{n}$ : $$\nabla f(A)=\begin{pmatrix}\partial _1(f)(A) \\ \vdots \\ \partial _n(f)(A) \end{pmatrix}$$ (le symbole $\nabla$ se prononce « nabla »).
Exemples
Les fonctions suivantes admettent-elles un gradient en tout point de $\R^{n}$ ?
- $f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}+c$ (application affine)
- $f\colon M\mapsto\|\vv{OM}\|$, $g\colon M\mapsto\|\vv{OM}\|^{2}$
- $f\colon(x,y)\mapsto\ds\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$
- $f\colon(x,y)\mapsto\begin{cases} 0 & \text{si } x\geqslant0 \\ 1 & \text{si } x<0 \end{cases}$, $g\colon(x,y)\mapsto\begin{cases} 0 & \text{si } x\geqslant0 \\ x & \text{si } x<0 \end{cases}$
- $f\colon(x,y)\mapsto(x+1)\sqrt{y}$
Remarques
- Si $f$ admet des dérivées partielles par rapport à chaque variable au point $A$ alors elle n'est pas nécessairement continue en $A$.
- Si $f$ admet une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ alors elle n'admet pas nécessairement de dérivée partielle par rapport à la $j$-ème variable en ce point.
Théorème : Opérations sur les dérivées partielles au point A
Soit $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$ et $\varphi$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ qui contient $f(\R^{n})$ qui est dérivable en $f(A)$.
- Si $f$ et $g$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ alors $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\ds\frac{f}{g}$ (dans le cas où $g(A)\neq0$) et $\varphi\circ f$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable au point $A$ et on a : $$\ds\partial_{i}(\lambda f+\mu g)(A)=\lambda\partial_{i}(f)(A)+\mu\partial_{i}(g)(A)$$ $$\ds\partial_{i}(f\times g)(A)=\partial_{i}(f)(A)\times g(A)+f(A)\times\partial_{i}(g)(A)$$ $$\ds\partial_{i}\left(\frac{f}{g}\right)(A)=\frac{\partial_{i}(f)(A)\times g(A)-f(A)\times\partial_{i}(g)(A)}{g(A)^{2}}$$ $$\ds\partial_{i}(\varphi\circ f)(A)=\partial_{i}(f)(A)\times\varphi'(f(A))$$
- Idem avec le gradient au point $A$ avec les relations suivantes (on rappelle que, le gradient étant un vecteur, l'opération « . » désigne la multiplication externe à gauche des vecteurs par un réel) : $$\ds \nabla(\lambda f+\mu g)(A)=\lambda\cdot\nabla f(A)+\mu\cdot\nabla g(A)$$ $$\ds\nabla(f\times g)(A)=g(A)\cdot\nabla f(A)+f(A)\cdot\nabla g(A)$$ $$\ds\nabla\left(\frac{f}{g}\right)(A)=\frac{1}{g(A)^{2}}\cdot\left[g(A)\cdot\nabla f(A)-f(A)\cdot\nabla g(A)\right]$$ $$\ds\nabla(\varphi\circ f)(A)=\varphi'(f(A))\cdot\nabla f(A)$$
Fonctions dérivées partielles
Définition
On suppose que $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la $i$-ème variable en tout point de $\R^{n}$. On appelle fonction dérivée partielle de $f$ sur $\R^{n}$ par rapport à la $i$-ème variable la fonction : $$\begin{array}{llllc} \partial_{i}(f) & \colon & \R^n & \to & \R \\ & & A & \mapsto & \partial_{i}(f)(A) \end{array}$$
Théorème : Opération sur les fonctions dérivées partielles
- Soit $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$ et $\varphi$ une fonction définie, continue et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ qui contient $f(\R^{n})$. Soit $i\in\llbracket1,n\rrbracket$. Si $f$ et $g$ admettent une fonction dérivée partielle par rapport la $i$-ème variable sur $\R^{n}$ alors $\lambda f+\mu g$, $f\times g$, $\dfrac{f}{g}$ (dans le cas où $g$ ne s'annule pas sur $\R^{n}$) et $\varphi\circ f$ admettent une dérivée partielle par rapport à la $i$-ème variable sur $\R^{n}$ et on a : $$\ds\partial_{i}(\lambda f+\mu g)=\lambda\partial_{i}(f)+\mu\partial_{i}(g)$$ $$\ds\partial_{i}(f\times g)=\partial_{i}(f)\times g+f\times\partial_{i}(g)$$ $$\ds\partial_{i}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{\partial_{i}(f)\times g-f\times\partial_{i}(g)}{g^{2}}$$ $$\ds\partial_{i}(\varphi\circ f)=\partial_{i}(f)\times\varphi'\circ f$$
- Toute fonction polynôme admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{n}$.
Exemples
- Préciser les fonctions dérivées partielles sur la plus grande partie possible de $\R^{n}$ des fonctions de l'exemple qui précède.
- Justifier que la fonction $f$ définie sur $\R^{n}$ par $f(x_{1},\dots,x_{n})={}^t\!XAX$ où $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$ est symétrique et $X=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}$ admet des dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{n}$ et les déterminer.
- Montrer que la fonction $(x,y,z)\mapsto\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ admet des fonctions dérivées partielles par rapport à chaque variable sur $\R^{3}\setminus\{(0,0,0)\}$.