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math:2:derivees_directionnelles

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math:2:derivees_directionnelles [2015/12/14 09:40] Alain Guichetmath:2:derivees_directionnelles [2020/12/07 23:32] (Version actuelle) Alain Guichet
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 <box red round 100% | **Définition : Chemin rectiligne sur une surface de classe C^1**> <box red round 100% | **Définition : Chemin rectiligne sur une surface de classe C^1**>
  
-Soit $A$ un point de $\R^{n}$. Soit $\vv{u}=\alpha_{1}\vv*{e}{1}+\dots+\alpha_{n}\vv*{e}{n}$. Pour tout réel $t$, on pose :\\ $$g(t)=f(A+t\vv{u})$$On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Alors, $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et on a :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; g'(t)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A+t\vv{u})\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\partial_{i}(f)(A+t\vv{u}})$$En particulier :\\ $$\ds g'(0)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A)\right\rangle$$+Soit $A$ un point de $\R^{n}$. Soit $\vv{u}=\alpha_{1}\vv{e_1}+\dots+\alpha_{n}\vv{e_n}$. Pour tout réel $t$, on pose :\\ $$g(t)=f(A+t\vv{u})$$On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Alors, $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et on a :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; g'(t)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A+t\vv{u})\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\partial_{i}(f)(A+t\vv{u}})$$En particulier :\\ $$\ds g'(0)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A)\right\rangle$$
  
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 __**Remarques**__ __**Remarques**__
  
-  * En cas d'existence, on a clairement :\\ $$\ds \forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; f'_{\vv*{e}{i}}(A)=\partial_{i}(f)(A)$$+  * En cas d'existence, on a clairement :\\ $$\ds \forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; f'_{\vv{e_i}}(A)=\partial_{i}(f)(A)$$
   * Une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l'ouvert $\R^{n}$ admet une dérivée directionnelle en tout point de $\R^{n}$ et dans toutes les directions.   * Une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l'ouvert $\R^{n}$ admet une dérivée directionnelle en tout point de $\R^{n}$ et dans toutes les directions.
   * On peut définir la notion de dérivée directionnelle pour des fonctions qui ne sont pas de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ mais alors il peut y avoir des points en lesquels la fonction n'admet pas de dérivée dans certaines directions.   * On peut définir la notion de dérivée directionnelle pour des fonctions qui ne sont pas de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ mais alors il peut y avoir des points en lesquels la fonction n'admet pas de dérivée dans certaines directions.
math/2/derivees_directionnelles.1450082416.txt.gz · Dernière modification : 2020/05/10 21:15 (modification externe)