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math:2:derivees_directionnelles

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math:2:derivees_directionnelles [2015/11/26 10:12] Alain Guichetmath:2:derivees_directionnelles [2015/12/14 09:40] Alain Guichet
Ligne 23: Ligne 23:
 <box green round 100% | **Définition : Dérivée directionnelle**> <box green round 100% | **Définition : Dérivée directionnelle**>
  
-Ce réel $g'(0)$ est appelé **dérivée de **$\boldsymbol{f}$** en le point **$\boldsymbol{A}$** dans la direction du vecteur **$\boldsymbol{\vv{u}}$ :\\ $$\ds f'_{\vv{u}}(A)=g'(0)=\lim_{t\to0}{\frac{f(A+t\vv{u})-f(A)}{t}}$$+Lorsque $\vv{u}$ est __unitaire__, ce réel $g'(0)$ est appelé **dérivée de **$\boldsymbol{f}$** en le point **$\boldsymbol{A}$** dans la direction du vecteur **$\boldsymbol{\vv{u}}$ :\\ $$\ds f'_{\vv{u}}(A)=g'(0)=\lim_{t\to0}{\frac{f(A+t\vv{u})-f(A)}{t}}$$
  
 </box> </box>
Ligne 39: Ligne 39:
       - Vérifier que :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; h'(t)=v_{1}'(t)\times\partial_{1}(f)(v_{1}(t),v_{2}(t))+v_{2}'(t)\times\partial_{2}(f)(v_{1}(t),v_{2}(t))$$       - Vérifier que :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; h'(t)=v_{1}'(t)\times\partial_{1}(f)(v_{1}(t),v_{2}(t))+v_{2}'(t)\times\partial_{2}(f)(v_{1}(t),v_{2}(t))$$
   - Déterminer la dérivée directionnelle de $f$ en $A$ dans la direction de $\vv{u}$ dans les cas suivants :   - Déterminer la dérivée directionnelle de $f$ en $A$ dans la direction de $\vv{u}$ dans les cas suivants :
-    - $f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}+c$ avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ +    - $f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}+c$ avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 
-    - $f\colon M\mapsto\|\vv{OM}\|$ avec $A=O$ et $\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ puis avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$+    - $f\colon M\mapsto\|\vv{OM}\|$ avec $A=O$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ puis avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
     - $f\colon(x,y)\mapsto xy$, $\vv{u}=(a,b)$ tel que $a^{2}+b^{2}=1$ en $A=(1,1)$ puis en $B(-1,2)$ et $\vv{u}=(a,b)$. Déterminer ensuite le vecteur unitaire $\vv{u}=(a,b)$ tel que la dérivée dans la direction de $\vv{u}$ soit maximale.     - $f\colon(x,y)\mapsto xy$, $\vv{u}=(a,b)$ tel que $a^{2}+b^{2}=1$ en $A=(1,1)$ puis en $B(-1,2)$ et $\vv{u}=(a,b)$. Déterminer ensuite le vecteur unitaire $\vv{u}=(a,b)$ tel que la dérivée dans la direction de $\vv{u}$ soit maximale.
  
Ligne 55: Ligne 55:
 Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ et $A$ un point de $\R^{n}$. Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ et $A$ un point de $\R^{n}$.
   * La dérivée directionnelle selon un vecteur unitaire $\vv{u}$ est égale à la pente de la courbe obtenue par intersection de $S_{f}$ avec l'hyperplan affine de $\R^{n+1}$ orthogonal à l'hyperplan $x_{n+1}=0$ et contenant la droite $d_{A,\vv{u}}$ de ce dernier hyperplan.   * La dérivée directionnelle selon un vecteur unitaire $\vv{u}$ est égale à la pente de la courbe obtenue par intersection de $S_{f}$ avec l'hyperplan affine de $\R^{n+1}$ orthogonal à l'hyperplan $x_{n+1}=0$ et contenant la droite $d_{A,\vv{u}}$ de ce dernier hyperplan.
-  * Si $\nabla f(A)$ n'est pas le vecteur nul alors la plus grande dérivée directionnelle en $A$ est obtenue pour le vecteur unitaire $\ds\frac{1}{\|\nabla f(A)\|}\nabla f(A)$ (donc selon la direction de $\nabla f(A)$) et vaut $\|\nabla f(A)\|$ la plus petite dérivée directionnelle en $A$ est obtenue selon la même direction mais dans le sens opposé.+  * Si $\nabla f(A)$ n'est pas le vecteur nul alors 
 +    * la plus grande dérivée directionnelle en $A$ est obtenue pour le vecteur unitaire :\\ $$\ds\frac{1}{\|\nabla f(A)\|}\nabla f(A)$$(donc selon la direction de $\nabla f(A)$) et vaut $\|\nabla f(A)\|$ 
 +    * la plus petite dérivée directionnelle en $A$ est obtenue selon la même direction mais dans le sens opposé.
   * Si $\nabla f(A)$ est le vecteur nul alors toutes les dérivées directionnelles sont nulles (le plan tangent est horizontal).   * Si $\nabla f(A)$ est le vecteur nul alors toutes les dérivées directionnelles sont nulles (le plan tangent est horizontal).
  
math/2/derivees_directionnelles.txt · Dernière modification : 2020/12/07 23:32 de Alain Guichet