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math:2:derive

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math:2:derive [2020/05/12 09:38] – [Différentes formules de Taylor] Alain Guichetmath:2:derive [2020/05/12 09:40] – [Différentes formules de Taylor] Alain Guichet
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 __**Remarque : **__\\ __**Remarque : **__\\
-Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f(x)+f'(x)h+o(h)-f(x)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f'(x)h+o(h)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(1) \end{array}$$ Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{[f(x)+f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]-[f(x)-f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{2f'(x)h+o(h^2)}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(h) \end{array}$$ On en déduit que l'approximation du nombre dérivé est bien meilleure par cette seconde méthode. On peut tester le code Scilab qui suit pour s'en convaincre : <code=scilab> function y=f(x)+Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f(x)+f'(x)h+o(h)-f(x)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f'(x)h+o(h)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(1) \end{array}$$ Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{[f(x)+f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]-[f(x)-f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{2f'(x)h+o(h^2)}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(h) \end{array}$$ On en déduit que l'approximation du nombre dérivé est bien meilleure par cette seconde méthode. On peut tester le code Scilab qui suit pour s'en convaincre : 
 +<code=scilab> 
 +function y=f(x)
     y=exp(x)     y=exp(x)
 endfunction endfunction
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     y=exp(x)     y=exp(x)
 endfunction endfunction
-h=0.1 x=[0:h:5] ; n=length(x) +h=0.1 // avec un pas plus petit, les différences seront moins visibles 
-y=feval(x,f) +x=[0:h:5] ; n=length(x) y=feval(x,f) 
-y1=[(y(2:n)-y(1:n-1))/h] // 1 case de moins que x +y1=[(y(2:n)-y(1:n-1))/h] // 1 case de moins que x (la dernière) 
-y2=[(y(3:n)-y(1:n-2))/2/h] // 2 cases de moins que x+y2=[(y(3:n)-y(1:n-2))/2/h] // 2 cases de moins que x (la première et la dernière)
 yprime=feval(x,fprime) yprime=feval(x,fprime)
 plot2d(x(1:n-1),y1,2) // bleu plot2d(x(1:n-1),y1,2) // bleu
math/2/derive.txt · Dernière modification : 2020/05/12 09:41 de Alain Guichet