Différences
Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.
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math:2:derive [2020/05/12 09:38] – [Différentes formules de Taylor] Alain Guichet | math:2:derive [2020/05/12 09:40] – [Différentes formules de Taylor] Alain Guichet |
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__**Remarque : **__\\ | __**Remarque : **__\\ |
Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f(x)+f'(x)h+o(h)-f(x)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f'(x)h+o(h)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(1) \end{array}$$ Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{[f(x)+f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]-[f(x)-f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{2f'(x)h+o(h^2)}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(h) \end{array}$$ On en déduit que l'approximation du nombre dérivé est bien meilleure par cette seconde méthode. On peut tester le code Scilab qui suit pour s'en convaincre : <code=scilab> function y=f(x) | Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f(x)+f'(x)h+o(h)-f(x)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f'(x)h+o(h)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(1) \end{array}$$ Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{[f(x)+f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]-[f(x)-f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{2f'(x)h+o(h^2)}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(h) \end{array}$$ On en déduit que l'approximation du nombre dérivé est bien meilleure par cette seconde méthode. On peut tester le code Scilab qui suit pour s'en convaincre : |
| <code=scilab> |
| function y=f(x) |
y=exp(x) | y=exp(x) |
endfunction | endfunction |
y=exp(x) | y=exp(x) |
endfunction | endfunction |
h=0.1 ; x=[0:h:5] ; n=length(x) | h=0.1 // avec un pas plus petit, les différences seront moins visibles |
y=feval(x,f) | x=[0:h:5] ; n=length(x) ; y=feval(x,f) |
y1=[(y(2:n)-y(1:n-1))/h] // 1 case de moins que x | y1=[(y(2:n)-y(1:n-1))/h] // 1 case de moins que x (la dernière) |
y2=[(y(3:n)-y(1:n-2))/2/h] // 2 cases de moins que x | y2=[(y(3:n)-y(1:n-2))/2/h] // 2 cases de moins que x (la première et la dernière) |
yprime=feval(x,fprime) | yprime=feval(x,fprime) |
plot2d(x(1:n-1),y1,2) // bleu | plot2d(x(1:n-1),y1,2) // bleu |