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math:2:demo:telescopage

Preuve : télescopage

Soit $\mathcal{H}(n)$ la proposition : $\ds\sum_{k=m}^{n}{\left[u_{k+1}-u_{k}\right]}=u_{n+1}-u_{m}$. Si $n=m$ alors l'égalité est évidente. Soit $n\geqslant m$ tel que la proposition $\mathcal{H}(n)$ est vraie. Alors :
$$\begin{array}{rcl} \ds\sum_{k=m}^{n+1}{\left[u_{k+1}-u_{k}\right]} & = & \ds\sum_{k=m}^{n}{\left[u_{k+1}-u_{k}\right]}+(u_{n+2}-u_{n+1}) \\ & = & u_{n+1}-u_{m}+u_{n+2}-u_{n+1} \\ & = & u_{n+2}-u_{m} \end{array}$$donc la proposition $\mathcal{H}(n+1)$ est vraie.

Remarque : Une autre possibilité consiste à scinder la somme en deux puis à effectuer un changement de numérotation dans la première somme afin de pouvoir éliminer les termes deux à deux sauf les deux restants.

math/2/demo/telescopage.txt · Dernière modification : 2020/05/10 23:35 de Alain Guichet