On sait que :

$$\ds B = B\cap\Omega = B\cap\left(\bigcup_{k=1}^{+\infty}A_k\right) = \bigcup_{k=1}^{+\infty}(B\cap A_k)$$

Cette réunion étant formée d'événements 2 à 2 incompatibles puisque les $A_k$ le sont, on en déduit que :

$$\ds \mathbb P(B) = \sum_{k=1}^{+\infty}\mathbb P(B\cap A_k)$$

Dans le cas où les $A_k$ sont tous de probabilité non nulle, on a aussi :

$$\ds \mathbb P(B) = \sum_{k=1}^{+\infty}\mathbb P(A_k)\mathbb P_{A_k}(B)$$