Soit $X$ une variable aléatoire discrète infinie positive et admettant une espérance.
Soit $a>0$. Comme $X$ admet une espérance, la série $\ds\sum_{k\geqslant a}{k\mathbb{P}(X=k)}$ converge et on a: $$\ds a\mathbb{P}(X\geqslant a)=\sum_{\substack{k\in\N\\k\geqslant a}}{a\mathbb{P}(X=k)}\leqslant\sum_{\substack{k\in\N\\k\geqslant a}}{k\mathbb{P}(X=k)}$$ Comme $X$ est à valeurs positives, on en déduit que : $$\ds a\mathbb{P}(X\geqslant a)\leqslant\sum_{k\in\N}{k\mathbb{P}(X=k)}=\mathbb{E}(X)$$

Soit $r>0$. Soit $X$ une variable aléatoire discrète infinie telle la variable aléatoire $|X|^{r}$ admet une espérance. On peut alors appliquer à $|X|^{r}$ l'inégalité de Markov puisqu'elle est positive et qu'elle admet une espérance : $$\ds\forall a\in\left]0,+\infty\right[,\;\mathbb{P}(X\geqslant a)=\mathbb{P}(|X|^{r}\geqslant a^{r})\leqslant\frac{\mathbb{E}(|X|^{r})}{a^{r}}$$

On applique cette dernière inégalité dans les cas $r=2$ et $X=\left|Y-\mathbb{E}(Y)\right|$ en remarquant que : $$\mathbb{E}(|Y-\mathbb{E}(Y)|^2)=\mathbb{E}((Y-\mathbb{E}(Y))^2)=\mathbb{V}(Y)$$

Soit $X$ une variable aléatoire positive et admettant une densité $f$ et une espérance.
Soit $a>0$. Comme $X$ admet une espérance, l'intégrale $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{tf(t)\mathrm{d}t}$ converge absolument et on a: $$\ds a\mathbb{P}(X\geqslant a)=\int_{a}^{+\infty}{af(t)\mathrm{d}t}\leqslant\int_{a}^{+\infty}{tf(t)\mathrm{d}t}$$ Comme $X$ est à valeurs positives, on en déduit que : $$\ds a\mathbb{P}(X\geqslant a)\leqslant\int_{0}^{+\infty}{tf(t)\mathrm{d}t}=\mathbb{E}(X)$$

Soit $r>0$. Soit $X$ une variable aléatoire discrète infinie telle la variable aléatoire $|X|^{r}$ admet une espérance. On peut alors appliquer à $|X|^{r}$ l'inégalité de Markov puisqu'elle est positive et qu'elle admet une espérance : $$\ds\forall a\in\left]0,+\infty\right[,\;\mathbb{P}(X\geqslant a)=\mathbb{P}(|X|^{r}\geqslant a^{r})\leqslant\frac{\mathbb{E}(|X|^{r})}{a^{r}}$$

On applique cette dernière inégalité dans les cas $r=2$ et $X=\left|Y-\mathbb{E}(Y)\right|$ en remarquant que : $$\mathbb{E}(|Y-\mathbb{E}(Y)|^2)=\mathbb{E}((Y-\mathbb{E}(Y))^2)=\mathbb{V}(Y)$$

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs réelles positives et admettant une espérance. On considère la variable aléatoire de Bernoulli $\mathbf{1}_{[X\geqslant1]}$ (qui prend la valeur 1 lorsque $X$ prend des valeurs supérieures ou égales à 1 et qui prend la valeur 0 sinon).
Alors :
$$\pr(X\geqslant\mathbf{1}_{[X\geqslant1]})=1$$Par croissance de l'espérance, on en déduit que :
$$\E(X)\geqslant\E(\mathbf{1}_{[X\geqslant1]})=\pr(X\geqslant1)$$(puisque c'est une variable de Bernoulli). L'inégalité $\E(X)\geqslant\pr(X\geqslant1)$ peut alors s'appliquer à la variable aléatoire $X/a$ pour tout $a>0$ (elle admet encore une espérance et elle est bien à valeurs positives). Par linéarité de l'espérance :
$$\E\left(\frac{X}{a}\right)\geqslant\pr\left(\frac{X}{a}\geqslant1\right)\qquad\text{donc}\qquad\frac{\E(X)}{a}\geqslant\pr(X\geqslant a)$$

Les deux autres points sont identiques à ceux des cas précédents.