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math:2:demo:loi_sans_memoire_densite

Preuve : loi sans mémoire à densité

Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont $f$ est une densité de probabilité.

Supposons que que la loi de X est une loi exponentielle

($X\hookrightarrow\mathcal E(\lambda)$ avec $\lambda>0$)

Comme $F_X(t)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}$ pour tout $t\geqslant0$ alors $\mathbb P(X>t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}>0$ pour tout $t\geqslant0$.

Soit $(x,y)\in\left[0,+\infty\right[^{2}$. Alors :
$$\ds\mathbb P_{[X>y]}(X>x+y)=\frac{\mathbb P(X>x+y)}{\mathbb P(X>y)}=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda(x+y)}}{\mathrm{e}^{-\lambda y}}=\mathrm{e}^{-\lambda x}=\mathbb P(X>x)$$donc $X$ suit une loi sans mémoire.

Supposons que la loi de X est une loi sans mémoire

Posons $r(x)=\mathbb P(X>x)=1-F_{X}(x)$ pour tout réel $x$. Alors : $$\forall(x,y)\in[0,+\infty[^{2},\; r(x+y)=r(x)r(y)$$Pour $x=y=0$, on obtient : $$r(0)=0\qquad\text{ou}\qquad r(0)=1$$ Mais, par hypothèse, on a : $$r(0)=\mathbb P(X>0)>0\qquad\text{donc}\qquad r(0)=1$$ ce qui prouve, par croissance de $F_X$ sur $\R$, que $F_X(x)=0$ pour tout réel $x\leqslant0$.
Par récurrence, on obtient : $$\forall(x_{1},\dots,x_{n})\in[0,+\infty[^{n},\; r(x_{1}+\dots+x_{n})=r(x_{1})\dots r(x_{n})$$ Posons alors $a=r(1)>0$. Soit $\ds x=\frac{p}{q}\in\Q^{+*}$ avec $p\in\N^{*}$ et $q\in\N^{*}$. Alors : $$\ds a=r(1)=r\underset{q\text{ termes}}{\underbrace{\left(\frac{1}{q}+\dots+\frac{1}{q}\right)}}=r\left(\frac{1}{q}\right)^{q}\qquad\text{donc}\qquad r\left(\frac{1}{q}\right)=a^{\frac{1}{q}}$$ $$\ds r\left(\frac{p}{q}\right)=r\underset{p\text{ termes}}{\underbrace{\left(\frac{1}{q}+\dots+\frac{1}{q}\right)}}=r\left(\frac{1}{q}\right)^{p}=\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^{p}=a^{\frac{p}{q}}=a^{x}$$ Soit $x\in\R^{+*}$. Alors $x$ est la limite d'une suite décroissante de rationnels, par exemple $x_{n}=10^{-n}\left(\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor +1\right)$ pour tout entier naturel $n$.
Comme $r=1-F_{X}$ alors $r$ est continue à droite en tout point de $\R$. Comme $x\leqslant x_{n}$ pour tout entier naturel $n$, la continuité à droite de $r$ assure que : $$\ds r(x)=\lim_{n\to+\infty}{r(x_{n})}=\lim_{n\to+\infty}{a^{x_{n}}}=a^{x}=\mathrm{e}^{x\ln(a)}$$ Comme $F_{X}$ est croissante alors $r$ est décroissante et ainsi $a\in\left]0,1\right[$. Posons $\lambda=-\ln(a)>0$. Alors : $$\ds \forall x\in\R^{+*},\; F_{X}(x)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$$ ce qui prouve que : $$X\hookrightarrow\mathcal E(\lambda)$$

math/2/demo/loi_sans_memoire_densite.txt · Dernière modification : 2020/06/14 21:36 de Alain Guichet