Par linéarité de l'espérance, chaque $\ds Y_{n}=\frac{1}{n}\left(X_{1}+\dots+X_{n}\right)$ admet une espérance et $\mathbb{E}(Y_{n})=m$. Comme les $X_{k}$ sont mutuellement indépendantes (ou deux à deux non corrélées dans le cas discret) alors chaque $Y_{n}$ admet une variance et :
$$\ds\mathbb{V}(Y_{n})=\frac{1}{n^{2}}\left(\mathbb{V}(X_{1})+\dots+\mathbb{V}(X_{n})\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}$$Soit $\varepsilon>0$. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a alors :
$$\ds0\leqslant\mathbb{P}\left(\left|Y_{n}-m\1_{\Omega}\right|>\varepsilon\right)=\mathbb{P}\left(\left|Y_{n}-\mathbb{E}(Y_{n})\right|>\varepsilon\right)\leqslant\frac{\mathbb{V}(Y_{n})}{\varepsilon^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n\varepsilon^{2}}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$$