Existence. L'application $u\colon E\to E$ définie par : $$u\left(\alpha_{1}\vv{x_1}+\dots+\alpha_{n}\vv{x_n}\right)=\alpha_{1}\vv{y_1}+\dots+\alpha_{n}\vv{y_n}$$ convient (elle est bien linéaire), ce qui prouve l'existence.

Unicité. Soit $v$ une application linéaire qui vérifie les mêmes relations. Alors : $$\vv{x_1}\in\mathrm{Ker}(v-u),\;\dots,\;\vv{x_n}\in\mathrm{Ker}(v-u)$$ On en déduit que : $$E=\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)\subset\mathrm{Ker}(v-u)\subset E$$ $$\mathrm{Ker}(v-u)=E$$ $$v-u=\Theta$$ et ainsi $v=u$ ce qui prouve l'unicité.