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math:2:demo:encadrement_forme_quadratique

Preuve : encadrement d'une forme quadratique

L'ensemble $S=\left\{ x\in\R^{n}\mid\|x\|=1\right\}$ est fermé (définition du cours car la norme est continue sur $\R^n$) et borné (définition de l'ensemble). La fonction $\ds\vv{x}\mapsto q(\vv{x})$ est continue sur $S$ comme fonction polynomiale. Le théorème précédent s'applique :
$$\ds\exists(\alpha,\beta)\in\R^2\;/\;\forall\vv{x}\in S,\;\alpha\leqslant q(\vv{x})\leqslant\beta$$et les réels $\alpha$ et $\beta$ dont atteints.

Soit $\vv{x}\ne\vv{0}$. Comme $q(\lambda\vv{x})=\lambda^2q(\vv{x})$ et comme $\ds\frac{1}{\|\vv{x}\|}\vv{x}\in S$, on a :
$$\ds\alpha\leqslant q\left(\frac{1}{\|\vv{x}\|}\vv{x}\right)\leqslant\beta$$$$\ds\alpha\leqslant\frac{q(\vv{x})}{\|x\|^2}\leqslant\beta$$$$\ds\alpha\|x\|^2\leqslant q(\vv{x})\leqslant\beta\|x\|^2$$

Comme $q(\vv{0})=0$, cette dernière double inégalité est encore vraie pour $\vv{x}=\vv{0}$.

math/2/demo/encadrement_forme_quadratique.txt · Dernière modification : 2020/05/10 21:31 de 127.0.0.1