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Preuve : propriétés de la fonction de répartition

Supposons que $F_X$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ discrète.
- Soit $x<y$. On a : $[X\leqslant x]\subset[X\leqslant y]$. Par croissance de la probabilité, on a :
  $$F_{X}(x)=\mathbb{P}(X\leqslant x)\leqslant\mathbb{P}(X\leqslant y)=F_{X}(y)$$donc $F_{X}$ est croissante sur $\R$ (démonstration valable pour une variable aléatoire de type quelconque).
- Notons $X(\Omega)=\{x_{0},x_{1},\dots,x_{n},\dots\}$ avec $x_{0}<x_{1}<\dots<x_{n}<\dots$. Soit $x\in\R$.
  - Si $x<x_{0}$ alors $[X<x]=\varnothing$ donc $F_{X}(x)=0$. On en déduit que $F_{X}$ est constante donc continue sur $\left]-\infty,x_{0}\right[$.
  - Si $x\in[x_{0},x_{1}[$ alors $[X\leqslant x]=[X=x_{0}]$ donc $F_{X}(x)=\mathbb{P}(X=x_{0})$. On en déduit que $F_{X}$ est constante donc continue sur $\left]x_{0},x_{1}\right[$. De plus :
    $$\ds 0=\lim_{x\to x_{0}^{-}}{F_{X}(x)}<F_{X}(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}^{+}}{F_{X}(x)}=\mathbb{P}(X=x_{0})$$et $F_X$ est continue à droite en $x_{0}$.
  - Si $x\in[x_{n},x_{n+1}[$ alors $[X\leqslant x]=\ds\bigcup_{k=1}^{k=n}{[X=x_{k}]}$ donc :
    $$\ds F_{X}(x)=\sum_{k=1}^{k=n}{\mathbb{P}(X=x_{k})}=F_{X}(x_{n})$$On en déduit que $F_{X}$ est constante donc continue sur $\left]x_{n},x_{n+1}\right[$. De plus :
    $$\ds 0=\lim_{x\to x_{n}^{-}}{F_{X}(x)}<F_{X}(x_{n})=\lim_{x\to x_{n}^{+}}{F_{X}(x)}$$et $F_X$ est continue à droite en $x_{n}$.
  - On en conclut que $F_{X}$ est continue sur $\R\setminus\{x_{0},x_{1},\dots,x_{n},\dots\}$ et continue à droite en $\{x_{0},x_{1},\dots,x_{n},\dots\}$ donc continue à droite sur $\R$.
- D'après ce qui précède :
  $$\ds \forall x<x_{0},\; F_{X}(x)=\mathbb{P}(X\leqslant x)=0$$D'après ce qui précède, la fonction $F_X$ est croissante et majorée par 1 donc admet une limite finie $\ell$ en $+\infty$. De plus, toujours par croissance, on a :
  $$\ds \forall n\in\N,\; F_{X}(x_n)=\sum_{k=0}^{n}{\mathbb{P}(X=x_{k})}\leqslant\ell\leqslant1$$donc par passage à la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ :
  $$\ds 1\leqslant\ell\leqslant1\qquad\text{donc}\qquad\lim_{x\to+\infty}{F_{X}(x)}=1$$
Réciproquement, supposons que $F$ vérifie les propriétés ci-dessus. Notons $x_{0}<x_{1}<\dots<x_{n}<\dots$ les réels en lesquels la fonction $F$ n'est continue qu'à droite. Posons aussi :
$$\ds\forall n\in\N,\; p_{n}=F(x_{n})-\lim_{x\to x_{n}^{-}}{F(x)}=\begin{cases} F(x_{n})-F(x_{n-1}) & \text{si}\; n\geqslant1\\ F(x_{0}) & \text{si}\; n=0 \end{cases}$$Ces réels sont bien strictement positifs d'après les hypothèses faites. De plus, par télescopage, on obtient immédiatement que :
$$\ds \forall n\in\N,\;\sum_{k=0}^{n}{p_{k}}=F(x_{0})\xrightarrow[n\to+\infty]{}1$$donc la série $\ds\sum_{k\geqslant0}{p_{k}}$ converge et sa somme vaut 1. On en déduit qu'il existe une variable aléatoire $X$ de loi de probabilité $((x_{n},p_{n}))_{n\geqslant0}$ et on a alors : $F_{X}=F$.