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| math:2:covariance [2020/05/25 10:41] – Alain Guichet | math:2:covariance [2024/02/22 23:23] (Version actuelle) – Alain Guichet |
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| <box 100% green round | **Définition**> | <box 100% green round | **Définition**> |
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| Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ admettant chacune une espérance. | Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ admettant chacune une espérance. |
| * On appelle **covariance** des deux variables aléatoires l'espérance, si elle existe, de la variable aléatoire $(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))$. Notation :\\ $$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}\big((X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))\big)$$ | * On appelle **covariance** des deux variables aléatoires l'espérance, si elle existe, de la variable aléatoire $(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))$. Notation :\\ $$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}\big((X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))\big)$$ |
| * Ces deux variables aléatoires sont dites **non corrélées** si et seulement si $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$. | * Les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont dites **non corrélées** si et seulement si la covariance du couple $(X,Y)$ existe et $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$. |
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| <box 100% red round | **Théorème : Propriétés de la covariance**> | <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:formule_huygens|Conditions d'existence de la covariance]]**> |
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| * //Symétrie//. Pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes admettant une covariance, on a :\\ $$\mathrm{Cov}(Y,X)=\mathrm{Cov}(X,Y)$$ | |
| * //Bilinéarité//. Pour tout famille $(X_{1},X_{2},Y_{1},Y_{2})$ de variables aléatoires discrètes telle que toutes les couples $(X_{i},Y_{j})$ admettent une covariance et toute famille $(\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2})$ de réels, le couple $\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)$ admet une covariance et on a : $$\ds\mathrm{Cov}\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)=\sum_{i=1}^{2}{\sum_{j=1}^{2}{\alpha_{i}\beta_{j}\mathrm{Cov}(X_{i},Y_{j})}}$$ | |
| * //Positivité//. Pour toute variable aléatoire discrète $X$ admettant une variance, on a : $$\ds\mathrm{Cov}(X,X)=\mathbb{V}(X)\geqslant0$$ | |
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| | * **//Formule de Koenig-Huygens//**. Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ admettant chacune une espérance. Alors le couple aléatoire $(X,Y)$ admet une covariance si et seulement si la variable aléatoire XY admet une espérance et on a :\\ $$\ds\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$$ |
| | * Si les variables aléatoires discrètes $X$ et $Y$ admettent une variance alors le couple aléatoire $(X,Y)$ admet une covariance |
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| __**Exemple**__ | <box 100% red round | **Théorème : Lien entre corrélation et indépendance**> |
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| Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes finies admettant la même variance. Montrer que les variables aléatoires $X+Y$ et $X-Y$ sont non corrélées. | Si deux variables aléatoires sont indépendantes et admettent chacune une variance alors elles sont non corrélées (la réciproque est fausse). |
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| <html><a name="formule_huygens"></a></html> | |
| <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:formule_huygens|Formule de Huygens]]**> | |
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| Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ admettant chacune une variance. Alors $(X,Y)$ admet une covariance et on a :\\ $$\ds\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$$ | |
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| <box 100% red round | **Théorème**> | __**Exemple classique et contre-exemple**__ |
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| Si deux variables aléatoires sont indépendantes et admettent chacune une variance alors elles sont non corrélées (la réciproque est fausse). | - Deux variables aléatoires de Bernoulli sont indépendantes si et seulement si elles sont non corrélées. |
| | - Si $X$ et $Y$ ont même variance alors $X+Y$ et $X-Y$ ne sont pas corrélées. Pour autant, si $X$ et $Y$ sont indépendantes et de même loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1,p)$ alors $X+Y$ et $X-Y$ ne sont pas indépendantes. |
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| | <box 100% red round | **Théorème : Propriétés de la covariance**> |
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| __**Exemple classique et contre-exemple**__ | //Toutes les variables aléatoires considérées dans ce théorème sont supposées discrètes et admettent une variance.// |
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| - Montrer que deux variables aléatoires de Bernoulli sont indépendantes si et seulement si elles sont non corrélées. | * **//Symétrie//**.\\ $$\mathrm{Cov}(Y,X)=\mathrm{Cov}(X,Y)$$ |
| - Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs strictement positives admettant un moment d'ordre 2 et soit $Y\hookrightarrow\mathcal{U}\left(\left\{ -1,1\right\} \right)$ indépendante de $X$. Montrer que $X$ et $XY$ sont non corrélées et qu'elles ne sont pas indépendantes. | * **//Bilinéarité//**. Pour toute famille $(\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2})$ de réels, le couple $\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)$ admet une covariance et on a : $$\ds\mathrm{Cov}\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)=\sum_{i=1}^{2}{\sum_{j=1}^{2}{\alpha_{i}\beta_{j}\mathrm{Cov}(X_{i},Y_{j})}}$$ |
| | * **//Positivité//**.\\ $$\ds\mathrm{Cov}(X,X)=\mathbb{V}(X)\geqslant0$$ |
| | * "**//[[:math:2:demo:lien_variance_covariance|Relation d'Al-Kashi]]//**". La variable aléatoire X+Y admet une variance et :\\ $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$$ Dans le cas où $X$ et $Y$ sont indépendantes (ou seulement non corrélées), on a :\\ $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$$ |
| | * **//[[:math:2:demo:covariance_cauchy_schwarz|Inégalité de Cauchy-Schwarz]]//**. $$\ds\mathrm{Cov}(X,Y)^{2}\leqslant\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)$$ $$\ds|\mathrm{Cov}(X,Y)|\leqslant\sigma(X)\sigma(Y)$$ De plus, lorsque $\mathbb{V}(X)\ne0$, cette inégalité est une égalité si et seulement si : $$\ds\exists(a,b)\in\R^{2}\;/\;\mathbb{P}(Y=aX+b)=1$$ et plus précisément : $$\mathbb{P}\left(Y=\frac{\cov(X,Y)}{\V(X)}X+\frac{\E(Y)\V(X)-\E(X)\cov(X,Y)}{\V(X)}\right)=1$$ ou encore $$\pr(Y^*=\alpha X^*)=1$$où $\alpha\in\{-1,0,1\}$ selon que la covariance $\cov(X,Y)$ est strictement négative, nulle, strictement positive. |
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| <html><a name="covariance_cauchy_schwarz"></a></html> | |
| <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:covariance_cauchy_schwarz|Inégalité de Cauchy-Schwarz]]**> | |
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| Pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance, on a : $$\ds\mathrm{Cov}(X,Y)^{2}\leqslant\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)$$ $$\ds|\mathrm{Cov}(X,Y)|\leqslant\sigma(X)\sigma(Y)$$ De plus, lorsque $\mathbb{V}(X)\ne0$, cette inégalité est une égalité si et seulement si : $$\ds\exists(a,b)\in\R^{2}\;/\;\mathbb{P}(Y=aX+b)=1$$ | __**Remarque**__ |
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| </box> | Il n'y a pas de propriété de non dégénérescence puisque $\V(X)=0$ n'implique pas que $X=0 1\!\!1_{\Omega}$. |
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| D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a : $\left|\rho(X,Y)\right|\leqslant1$. | D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a : $\left|\rho(X,Y)\right|\leqslant1$. |
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| <html><a name="lien_variance_covariance"></a></html> | |
| <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:lien_variance_covariance|Lien avec la variance]]**> | |
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| Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance. | |
| * La variable aléatoire $X+Y$ admet une variance et on a : $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$$ | |
| * Dans le cas où $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a : $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$$ | |
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