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math:2:covariance

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math:2:covariance [2020/05/10 21:19]
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math:2:covariance [2020/05/25 10:41] (Version actuelle)
Alain Guichet
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   * //​Symétrie//​. Pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes admettant une covariance, on a :\\ $$\mathrm{Cov}(Y,​X)=\mathrm{Cov}(X,​Y)$$   * //​Symétrie//​. Pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes admettant une covariance, on a :\\ $$\mathrm{Cov}(Y,​X)=\mathrm{Cov}(X,​Y)$$
-  * //​Bilinéarité//​. Pour tout famille $(X_{1},​X_{2},​Y_{1},​Y_{2})$ de variables aléatoires discrètes telle que toutes les couples $(X_{i},​Y_{j})$ admettent une covariance et toute famille $(\alpha_{1},​\alpha_{2},​\beta_{1},​\beta_{2})$ de réels, le couple $\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},​\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)$ admet une covariance et on a :\\ $$\ds\mathrm{Cov}\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},​\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)=\sum_{i=1}^{2}{\sum_{j=1}^{2}{\alpha_{i}\beta_{j}\cov(X_{i},​Y_{j})}}$$ +  * //​Bilinéarité//​. Pour tout famille $(X_{1},​X_{2},​Y_{1},​Y_{2})$ de variables aléatoires discrètes telle que toutes les couples $(X_{i},​Y_{j})$ admettent une covariance et toute famille $(\alpha_{1},​\alpha_{2},​\beta_{1},​\beta_{2})$ de réels, le couple $\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},​\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)$ admet une covariance et on a : $$\ds\mathrm{Cov}\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},​\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)=\sum_{i=1}^{2}{\sum_{j=1}^{2}{\alpha_{i}\beta_{j}\mathrm{Cov}(X_{i},​Y_{j})}}$$ 
-  * //​Positivité//​. Pour toute variable aléatoire discrète $X$ admettant une variance, on a :\\ $$\ds\mathrm{Cov}(X,​X)=\mathbb{V}(X)\geqslant0$$+  * //​Positivité//​. Pour toute variable aléatoire discrète $X$ admettant une variance, on a : $$\ds\mathrm{Cov}(X,​X)=\mathbb{V}(X)\geqslant0$$
  
 </​box>​ </​box>​
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 <box 100% red round | **Théorème : [[:​math:​2:​demo:​covariance_cauchy_schwarz|Inégalité de Cauchy-Schwarz]]**>​ <box 100% red round | **Théorème : [[:​math:​2:​demo:​covariance_cauchy_schwarz|Inégalité de Cauchy-Schwarz]]**>​
  
-Pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance, on a :\\ $$\ds\mathrm{Cov}(X,​Y)^{2}\leqslant\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)$$$$\ds|\mathrm{Cov}(X,​Y)|\leqslant\sigma(X)\sigma(Y)$$De plus, lorsque $\mathbb{V}(X)\ne0$,​ cette inégalité est une égalité si et seulement si :\\ $$\ds\exists(a,​b)\in\R^{2}\;/​\;​\mathbb{P}(Y=aX+b)=1$$+Pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance, on a : $$\ds\mathrm{Cov}(X,​Y)^{2}\leqslant\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)$$ $$\ds|\mathrm{Cov}(X,​Y)|\leqslant\sigma(X)\sigma(Y)$$ De plus, lorsque $\mathbb{V}(X)\ne0$,​ cette inégalité est une égalité si et seulement si : $$\ds\exists(a,​b)\in\R^{2}\;/​\;​\mathbb{P}(Y=aX+b)=1$$
  
 </​box>​ </​box>​
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 <box 100% green round | **Définition**>​ <box 100% green round | **Définition**>​
  
-Lorsque $X$ et $Y$ admettent une variance non nulle, on appelle **coefficient de corrélation** de ces deux variables aléatoires le réel :\\ $$\rho(X,​Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,​Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$$+Lorsque $X$ et $Y$ admettent une variance non nulle, on appelle **coefficient de corrélation** de ces deux variables aléatoires le réel : $$\rho(X,​Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,​Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$$
  
 </​box>​ </​box>​
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 Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance. Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance.
-  * La variable aléatoire $X+Y$ admet une variance et on a :\\ $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,​Y)$$+  * La variable aléatoire $X+Y$ admet une variance et on a : $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,​Y)$$
   * Dans le cas où $X$ et $Y$ sont indépendantes,​ on a : $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$$   * Dans le cas où $X$ et $Y$ sont indépendantes,​ on a : $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$$
  
math/2/covariance.txt · Dernière modification: 2020/05/25 10:41 par Alain Guichet