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Covariance
Définition
Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ admettant chacune une espérance.
- On appelle covariance des deux variables aléatoires l'espérance, si elle existe, de la variable aléatoire $(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))$. Notation :
$$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}\big((X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))\big)$$ - Ces deux variables aléatoires sont dites non corrélées si et seulement si $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$.
Exemple
Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires de Bernoulli. Montrer que :
$$\ds\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{P}([X=1]\cap[Y=1])-\mathbb{P}(X=1)\mathbb{P}(Y=1)$$
Théorème : Propriétés de la covariance
- Symétrie. Pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes admettant une covariance, on a :
$$\mathrm{Cov}(Y,X)=\mathrm{Cov}(X,Y)$$ - Bilinéarité. Pour tout famille $(X_{1},X_{2},Y_{1},Y_{2})$ de variables aléatoires discrètes telle que toutes les couples $(X_{i},Y_{j})$ admettent une covariance et toute famille $(\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2})$ de réels, le couple $\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)$ admet une covariance et on a :
$$\ds\mathrm{Cov}\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)=\sum_{i=1}^{2}{\sum_{j=1}^{2}{\alpha_{i}\beta_{j}\cov(X_{i},Y_{j})}}$$ - Positivité. Pour toute variable aléatoire discrète $X$ admettant une variance, on a :
$$\ds\mathrm{Cov}(X,X)=\mathbb{V}(X)\geqslant0$$
Exemple
Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes finies admettant la même variance. Montrer que les variables aléatoires $X+Y$ et $X-Y$ sont non corrélées.
<html><a name=“formule_huygens”></a></html>
Théorème : Formule de Huygens
Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ admettant chacune une variance. Alors $(X,Y)$ admet une covariance et on a :
$$\ds\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$$
Théorème
Si deux variables aléatoires sont indépendantes et admettent chacune une variance alors elles sont non corrélées (la réciproque est fausse).
Exemple classique et contre-exemple
- Montrer que deux variables aléatoires de Bernoulli sont indépendantes si et seulement si elles sont non corrélées.
- Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs strictement positives admettant un moment d'ordre 2 et soit $Y\hookrightarrow\mathcal{U}\left(\left\{ -1,1\right\} \right)$ indépendante de $X$. Montrer que $X$ et $XY$ sont non corrélées et qu'elles ne sont pas indépendantes.
<html><a name=“covariance_cauchy_schwarz”></a></html>
Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz
Pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance, on a :
$$\ds\mathrm{Cov}(X,Y)^{2}\leqslant\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)$$$$\ds|\mathrm{Cov}(X,Y)|\leqslant\sigma(X)\sigma(Y)$$De plus, lorsque $\mathbb{V}(X)\ne0$, cette inégalité est une égalité si et seulement si :\\ $$\ds\exists(a,b)\in\R^{2}\;/\;\mathbb{P}(Y=aX+b)=1$$
</box>
<box 100% green round | **Définition**>
Lorsque $X$ et $Y$ admettent une variance non nulle, on appelle **coefficient de corrélation** de ces deux variables aléatoires le réel :\\ $$\rho(X,Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$$
</box>
__**Remarque**__
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a : $\left|\rho(X,Y)\right|\leqslant1$.
<html><a name=“lien_variance_covariance”></a></html>
Théorème : Lien avec la variance
Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance.
- La variable aléatoire $X+Y$ admet une variance et on a :
$$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$$ - Dans le cas où $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a : $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$$
Exemple
Une urne contient $r$ boules rouges, $v$ boules vertes et $b$ boules bleues. On tire $n$ boules dans l'urne ($n\leqslant r+v+b$). On note $R$ (resp. $V$, $B$) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges (resp. vertes, bleues) tirées.
- Les tirages sont supposés successifs et avec remise. Reconnaître les lois de $R$, $V$, $B$ puis calculer $\mathrm{Cov}(R,V)$.
- Les tirages sont simultanés. Déterminer les lois de $R$, $V$, $B$ puis calculer $\mathrm{Cov}(R,V)$.