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| math:2:covariance [2019/06/30 11:43] – [Covariance] Alain Guichet | math:2:covariance [2020/05/25 10:41] – Alain Guichet |
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| * //Symétrie//. Pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes admettant une covariance, on a :\\ $$\mathrm{Cov}(Y,X)=\mathrm{Cov}(X,Y)$$ | * //Symétrie//. Pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes admettant une covariance, on a :\\ $$\mathrm{Cov}(Y,X)=\mathrm{Cov}(X,Y)$$ |
| * //Bilinéarité//. Pour tout famille $(X_{1},X_{2},Y_{1},Y_{2})$ de variables aléatoires discrètes telle que toutes les couples $(X_{i},Y_{j})$ admettent une covariance et toute famille $(\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2})$ de réels, le couple $\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)$ admet une covariance et on a :\\ $$\ds\mathrm{Cov}\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)=\sum_{i=1}^{2}{\sum_{j=1}^{2}{\alpha_{i}\beta_{j}\cov(X_{i},Y_{j})}}$$ | * //Bilinéarité//. Pour tout famille $(X_{1},X_{2},Y_{1},Y_{2})$ de variables aléatoires discrètes telle que toutes les couples $(X_{i},Y_{j})$ admettent une covariance et toute famille $(\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2})$ de réels, le couple $\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)$ admet une covariance et on a : $$\ds\mathrm{Cov}\left(\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{2}X_{2},\beta_{1}Y_{1}+\beta_{2}Y_{2}\right)=\sum_{i=1}^{2}{\sum_{j=1}^{2}{\alpha_{i}\beta_{j}\mathrm{Cov}(X_{i},Y_{j})}}$$ |
| * //Positivité//. Pour toute variable aléatoire discrète $X$ admettant une variance, on a :\\ $$\ds\mathrm{Cov}(X,X)=\mathbb{V}(X)\geqslant0$$ | * //Positivité//. Pour toute variable aléatoire discrète $X$ admettant une variance, on a : $$\ds\mathrm{Cov}(X,X)=\mathbb{V}(X)\geqslant0$$ |
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| <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:covariance_cauchy_schwarz|Inégalité de Cauchy-Schwarz]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:covariance_cauchy_schwarz|Inégalité de Cauchy-Schwarz]]**> |
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| Pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance, on a :\\ $$\ds\mathrm{Cov}(X,Y)^{2}\leqslant\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)$$$$\ds|\mathrm{Cov}(X,Y)|\leqslant\sigma(X)\sigma(Y)$$De plus, lorsque $\mathbb{V}(X)\ne0$, cette inégalité est une égalité si et seulement si :\\ $$\ds\exists(a,b)\in\R^{2}\;/\;\mathbb{P}(Y=aX+b)=1$$ | Pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance, on a : $$\ds\mathrm{Cov}(X,Y)^{2}\leqslant\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)$$ $$\ds|\mathrm{Cov}(X,Y)|\leqslant\sigma(X)\sigma(Y)$$ De plus, lorsque $\mathbb{V}(X)\ne0$, cette inégalité est une égalité si et seulement si : $$\ds\exists(a,b)\in\R^{2}\;/\;\mathbb{P}(Y=aX+b)=1$$ |
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| <box 100% green round | **Définition**> | <box 100% green round | **Définition**> |
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| Lorsque $X$ et $Y$ admettent une variance non nulle, on appelle **coefficient de corrélation** de ces deux variables aléatoires le réel :\\ $$\rho(X,Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$$ | Lorsque $X$ et $Y$ admettent une variance non nulle, on appelle **coefficient de corrélation** de ces deux variables aléatoires le réel : $$\rho(X,Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$$ |
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| Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance. | Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance. |
| * La variable aléatoire $X+Y$ admet une variance et on a :\\ $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$$ | * La variable aléatoire $X+Y$ admet une variance et on a : $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$$ |
| * Dans le cas où $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a : $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$$ | * Dans le cas où $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a : $$\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{V}(Y)$$ |
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