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Couples
Dans tout ce chapitre, on considère un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.
Définitions : Rappels
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité définies sur le même espace probabilisé.
- On appelle loi du couple aléatoire $(X,Y)$ la donnée de la fonction $F_{(X,Y)}\colon\R^{2}\to\R$, appelée répartition conjointe, définie par :
$$\ds \forall(x,y)\in\R^{2},\; F_{(X,Y)}(x,y)=\mathbb{P}([X\leqslant x]\cap[Y\leqslant y])$$ - Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont dites indépendantes si et seulement si $F_{(X,Y)}=F_{X}F_{Y}$ :
$$\ds\forall(x,y)\in\R^{2},\;\mathbb{P}([X\leqslant x]\cap[Y\leqslant y])=\mathbb{P}(X\leqslant x)\mathbb{P}(Y\leqslant y)$$
Théorème : Lemme des coalitions
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité définies sur le même espace probabilisé. Soit $g$ (resp. $h$) une fonction numérique définie sur un intervalle de $\R$ contenant $X(\Omega)$ (resp. $Y(\Omega)$). Si $X$ et $Y$ sont indépendantes alors les variables aléatoires $g(X)$ et $h(Y)$ sont indépendantes.
Théorème : Loi du maximum, loi du minimum
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité définies sur le même espace probabilisé.
- Pour obtenir la loi de $\max(X,Y)$, on utilise le fait que :
$$\ds\forall t\in\R,\;\left[\max(X,Y)\leqslant t\right]=\left[X\leqslant t\right]\cap\left[Y\leqslant t\right]$$Alors, en cas d'indépendance :
$$\ds\forall t\in\R,\;F_{\max(X,Y)}(t)=F_{X}(t)F_{Y}(t)$$ - Pour obtenir la loi de $\min(X,Y)$, on utilise le fait que :
$$\ds\forall t\in\R,\;\left[\min(X,Y)>t\right]=\left[X>t\right]\cap\left[Y>t\right]$$Alors, en cas d'indépendance :
$$\ds\forall t\in\R,\;F_{\min(X,Y)}(t)=1-\left(1-F_{X}(t)\right)\left(1-F_{Y}(t)\right)$$
Exemples
- Déterminer la loi de $\max(X,Y)$ où $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi $\mathcal{U}([0,1])$. Admet-elle une espérance ? une variance ?
- Déterminer la loi de $\min(X,Y)$ où $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi $\mathcal{E}(\lambda)$. Admet-elle une espérance ? une variance ?
Remarque
Soit $X$ une variable aléatoire à densité et $Y$ une variable aléatoire discrète définies sur le même espace probabilisé. Pour déterminer la loi de $X+Y$ ou $XY$ ou $\max(X,Y)$ ou …, on utilise la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements $(\left[Y=y\right])_{y\in Y(\Omega)}$.
Exemples
- Déterminer la loi de $XY$ avec $X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket-1,1\rrbracket)$, $Y\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$ et $X$ et $Y$ indépendantes.
- Déterminer la loi de $Z-\lfloor Z\rfloor$ avec $Z\hookrightarrow\mathcal{E}(\lambda)$. Admet-elle une espérance ? une variance ?